探討可逆矩陣教學設計的思路

任馳遠+田欣

【摘要】可逆矩陣是線性代數中的一個重要概念，本文針對該知識的講授方法進行了深入剖析。本文首先分析了該內容的重點是理解可逆矩陣、伴隨矩陣的定義，同時需要學生熟練掌握可逆矩陣的性質和運用初等行變換法求可逆矩陣的逆矩陣并針對教學難點：用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣，進行了課程設計，保證了學生能夠有效、快速的掌握該內容。

【關鍵詞】線性代數 可逆矩陣 課程設計

【基金項目】西南石油大學創新創業研究基金項目（SWPUSC16-22）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）04-0120-01

1.教學設計的特征

教學設計是把教學原理轉化為教學材料和教學活動的計劃，本課程內容就是需要把可逆矩陣的定義、計算等知識傳授給學生。而要達成這個目標，教學要遵循教學過程的基本規律，選擇教學手段，確定學生的學習需要和學習目標。教學設計確定通過一些具體的教學內容提升學習者的知識與技能，以計劃和布局安排的形式，設計能達到教學目標進行創造性的決策，以解決怎樣教的問題。

教學設計是以系統方法為指導，使學生掌握需要的教學內容，應采用什么策略，即“如何學”。教學設計把教學各要素看成一個對立而統一的系統，分析教學中出現的問題和需求，確立解決的程序綱要，提高教學效果。教學設計是提高學習者獲得知識、技能的效率和興趣的技術過程。教學設計是教育技術的組成部分，它的功能在于運用系統方法設計教學過程，使之成為一種具有操作性的程序。對于可逆矩陣的講授方法上，就需要應該遵循這些思路，從“為什么學”、“學什么”、“如何學”、“學得怎么樣”的角度分析該課程內容，設計課堂結構，優化時間安排，提高教學效果。

2.知識結構的引入方法

首先回顧前面講過的背景知識，復習定義了矩陣的加法、減法和乘法三種運算。而在矩陣乘法運算中，發現了一個重要性質：單位矩陣E的作用類似于數1在數的乘法中的作用，即對于任意n階矩陣A，有

AEn=EnA=A。

在數的乘法運算中，對于非零數a，則存在唯一一個數b，使得ab=ba=1。

自然要問：非零矩陣是否也有類似這樣的性質？

先看下面的引例。

通過引例發現：對于非零矩陣A，不一定存在矩陣B，使得AB=BA=E。如果這樣的矩陣B存在，我們就稱A為可逆矩陣，而稱B為A的逆矩陣。可逆矩陣是一類重要的矩陣，而它的逆矩陣在矩陣的運算中起著重要作用。下面，我們來介紹可逆矩陣的定義、性質和矩陣是可逆矩陣的條件，最后介紹一種求逆矩陣的方法。

3.知識內容的講解

本節的知識內容主要包括可逆矩陣的定義、可逆矩陣的性質以及可逆矩陣的計算三大塊內容。

3.1 可逆矩陣定義

首先講解相關定義和概念。設A是n階方陣，如果存在n階方陣B使AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，簡稱A可逆，并稱B為A的逆矩陣，也說A有逆矩陣。顯然E是可逆矩陣，其逆矩陣為自身；零矩陣不是可逆矩陣。如何求引例中的矩陣A的逆矩陣？由逆矩陣的定義，設B=a bc d，AB=BA=E，則可求出矩陣B。即采用待定元素的方法。

3.2可逆矩陣性質

略。

3.3伴隨矩陣

然后闡述基于伴隨矩陣的逆矩陣的求法。設A=（aij）n×n，Aij為A中元素aij的代數余子式，則可構成A的伴隨矩陣。

3.4求逆方法—初等行變換法

接著論述逆矩陣的常規求法：可逆矩陣可經過若干次初等行變換化為單位矩陣。1）實用求逆法：設A可逆，用初等行變換化矩陣（A E）為（E X），則A-1=X。2）推廣的實用求逆法：設A可逆，用初等行變換化矩陣（A B）為（E X），則X=A-1B。用行初等變換求逆短陣時，必須始終用行初等變換，其間不能作任何列初等變換。求滿足一定關系式的未知矩陣，一般應先根據矩陣的運算化簡關系式，再求出出相關矩陣的逆矩陣，最后求出未知矩陣。一般說來，用伴隨矩陣法求矩陣的逆矩陣，計算量非常大，而且容易出錯。我們常常采用實用求矩陣的逆矩陣的方法——初等變換法。

3.5計算過程中的注意事項

①若用初等行變換不能將矩陣[E-A B]可以化為矩陣[E Y]，說明E-A不可逆。此時，需用前面的待定元素的方法求矩陣X。

②求X的過程中，既可以先求出逆矩陣，后作乘法求，也可以直接求。但是若A可逆，且XA=C，則必須先求出A的逆矩陣A-1，后作乘法求。

③證明矩陣A可逆的方法：（1）定義法；（2）利用“方陣A可逆?A≠0”證明；

（3）若用初等行變換將矩陣[A E]可以化為矩陣[E X]，則A可逆。

④求可逆矩陣的逆矩陣的方法：

（1）（定義法）根據定義由待定元素的方法。

（2）（伴隨矩陣法）設A為n階方陣，A≠0，則A-1=A。

（3）（初等變換法）設A可逆，用初等行變換將矩陣[A E]化為矩陣[E X]，則A-1=X。

4.結論

可逆矩陣是線性代數中的一個重要概念，本文從“為什么學”、“學什么”、“如何學”、“學得怎么樣”的角度闡述了該課程內容，設計課堂結構。該內容的重點是理解可逆矩陣、伴隨矩陣的定義，熟練掌握可逆矩陣的性質和運用初等行變換法求可逆矩陣的逆矩陣；難點是用伴隨矩陣法求可逆矩陣的逆矩陣。本課程設計有利于學生理解可逆矩陣、伴隨矩陣的定義；熟練掌握可逆矩陣的性質，有助于學生快速掌握運用初等行變換法計算逆矩陣。

作者簡介：

任馳遠（1981.3-），男，漢族，湖南汨羅人，博士，講師。

田欣（1984.0-），女，漢族，甘肅武威人，碩士，講師。