實對稱矩陣的正交相似對角化

舒阿秀

摘要：矩陣的對角化問題是高等代數研究的核心問題之一，本文主要針對實對稱矩陣，討論了它既合同又相似于對角陣的三種方法，并具體舉例說明.

關鍵詞：實對稱矩陣；對角化；正交

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）12-0208-02

矩陣對角化問題是代數學和矩陣論中最基本的問題之一.將一個實對稱矩陣合同對角化的方法實際就是求二次型標準形的方法，即通過坐標變換（或者配方）的方法來實現的；將一個實對稱矩陣相似對角化的方法與一般矩陣的相似對角化方法相同，本文不再贅述；下面我們重點研究將一個實對稱矩陣既合同又相似對角化的方法.這里主要介紹三種，分別是Schmidt正交法、直接正交法和度量矩陣法.

一、Schmidt正交法

二、直接正交法

當實對稱矩陣A的某一特征根λ為t（t>1）重根時，我們可以求出屬于λ的t個特征向量，要得到t個彼此正交的單位特征向量，可以直接從特征子空間中求出正交向量，然后單位化即可.且當特征根的重數較大時，能夠大大減少計算量.

三、度量矩陣法

使用該方法時，需要對度量矩陣和合同變換有清晰的了解.利用正定矩陣合同于單位矩陣，求的原基與新基之間的“過渡矩陣”是該方法的關鍵.

參考文獻：

[1]北京大學數學系.高等代數[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]王萼芳，石生明.高等代數輔導與習題解答[M].北京：高等教育出版社，2007.