淺談函數的微分及其應用

高新濤

摘要：函數微分是高等數學中一個比較重要的概念，它在數學、工程計算、物理等專業中有許多非常重要的應用。利用微分往往可以把一些復雜的計算用簡單的近似來代替，這一過程在一些工程計算中特別重要。本文主要介紹微分的概念、定理及其應用。

Abstract： Function differential is one of the important concepts in higher mathematics. It has many applications in some areas， such as maths， engineering， physics and so on. Differential often translates complex calculation into simple approximate calculations，which is particularly important in engineering. This paper will describe some applications of the differential in approximate calculations.

關鍵詞：函數微分；應用；近似計算

Key words： function differential；application；approximate calculation

中圖分類號：O155 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）05-0191-02

0 引言

在高等數學中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。當函數自變量的取值作足夠小的改變時，微分可以近似地描述函數的值變化情況。

在文獻[1]中作者給出函數微分的概念：設函數y=f（x）在∪（x0，δ）內有定義，給自變量一個增量Δx，如果相應的函數值增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）能表示為Δy=AΔx+o（Δx），其中A是與Δx無關的常數，則稱函數f（x）在點x0處可微，并稱AΔx為f（x）在點x0處的微分，記為dy│■=AΔx。特別地，當y=x時，有dy=dx=Δx，故函數f（x）點x0處的微分也可以寫成dy│■=Adx。同時文獻[1]介紹判斷函數微分存在的重要定理：函數f（x）在點x0處可導的充分必要條件是函數f（x）在點x0處可微，并且dy│■=f'（x0）Δx。

本文主要通過具體的實例介紹了函數微分在計算函數增量的近似值、函數的近似值及誤差分析中的應用。將微分法應用到近似計算及誤差分析中，方法簡單、易懂。

1 微分的應用

由微分的幾何意義可知微分是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一種與求導密切相關的運算，同時又表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為原函數數值的近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。下面我將介紹微分在近似計算中的幾個簡單應用。