三大中值定理和泰勒公式在一道題中的幾種證明方法

劉立漢

摘 要：本文通過微分等式中一道經典題來舉例說明羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道題中的四種證明方法。

關鍵詞：羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式

羅爾定理（見[1] [2] [3] [4] [5]）、拉格朗日中值定理（見[1] [2] [3] [4] [5]）、柯西中值定理（見[1] [2] [3] [4] [5]）和泰勒公式（見[1] [2] [3] [4] [5]）是溝通函數與其導函數之間的橋梁，在數學分析和高等數學等數學課程中有著廣泛的應用。為此，本文通過微分等式中一道經典題來舉例說明羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道題中的四種證明方法。

例（見[6]）設函數 在閉區間 上連續，在開區間 內二階可導，證明：至少存在一點 ，使得 .

證法一 由于對于固定的 和 ， 為常數，于是

而又由達布定理可知：至少存在一點 ，使得 ，從而結論得證。

參考文獻：

[1] 李成章， 黃玉民， 數學分析（第二版， 上冊）， 北京：科學出版社， 2007.

[2] 歐陽光中， 朱學炎， 金福臨， 陳傳璋， 數學分析（第三版，上冊），北京：高等教育出版社， 2006.

[3] 彭立中，譚小江， 數學分析（第一冊）， 北京：高等教育出版社， 2005.