反思，點(diǎn)亮學(xué)生“悟”的心燈

曾子斌

摘 要：解題后要反思，命題者的意圖是什么？考查的知識(shí)點(diǎn)、方法和能力是什么？驗(yàn)證答案是否正確，題中的條件的應(yīng)用是否完備？求解或證明過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完整？一題多解？一題多變？一題多問(wèn)？一題多用？多題一解？不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察探究、歸納類比、抽象概括，對(duì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行甄別，體會(huì)解題帶來(lái)的快樂(lè)，享受反思帶來(lái)的成功感。養(yǎng)成獨(dú)立思考、主動(dòng)探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)好數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：反思 探究 歸納 概括 提高能力

孔子云：學(xué)而不思則罔。“罔”即迷惑而沒(méi)有所得，把其意思引申一下，我們也就不難理解為什么要進(jìn)行解題后反思了。事實(shí)上，一道題經(jīng)過(guò)一番艱辛，苦思冥想解出答案后，須進(jìn)行如此反思：第一步，“學(xué)懂了沒(méi)有？”——主要解決“是什么”的問(wèn)題，即命題者的意圖是什么？考查的知識(shí)點(diǎn)、方法和能力是什么？第二步，“領(lǐng)悟了沒(méi)有？”——主要解決“為什么”的問(wèn)題，即驗(yàn)證答案是否正確，題中的條件的應(yīng)用是否完備？求解或證明過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完整？第三步，“會(huì)用了沒(méi)有？”——主要解決“做什么”的問(wèn)題，即本題有無(wú)其他解法——一題多解？或一題多變？ 一題多問(wèn)？一題多用？多題一解？由于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制，表現(xiàn)出對(duì)知識(shí)不求甚解，熱衷于做大量題，不善于在解題后對(duì)題目進(jìn)行反思，普遍欠缺一個(gè)提高解題能力的重要環(huán)節(jié)；而通過(guò)解題后反思解題過(guò)程、探討知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系、知識(shí)交匯、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng)，能點(diǎn)亮學(xué)生“悟”的心燈。

本文擬從以下方面作些探究，與同行商榷。

一、及時(shí)反思所犯錯(cuò)誤，確保解題的合理性和正確性

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)是以現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展觀水平為出發(fā)點(diǎn)，以“最近發(fā)展區(qū)”為定向，在不斷產(chǎn)生錯(cuò)誤和糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中進(jìn)行的。解題教學(xué)若能從此切入，進(jìn)行解后反思，則往往能找到“病根”，從而對(duì)癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

如題1：在△ABC中，AB→=（1，1），AC→=（2，k），若△ABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)k的值.解：∵△ABC為直角三角形，∴A=90°，∴AB→·AC→=0，又∵AB→=（1，1），AC→=（2，k），∴1×2+1×k=0，即k=-2，∴k=-2時(shí)，△ABC為直角三角形。解后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：解決這類問(wèn)題的通法是什么？解決這一類問(wèn)題常犯錯(cuò)誤或要注意的是什么？是否可轉(zhuǎn)換角度進(jìn)行思考及不同知識(shí)點(diǎn)的相互聯(lián)系？問(wèn)題能否進(jìn)行變式或推廣？學(xué)生們各抒己見(jiàn)，針對(duì)各種“病因”開(kāi)出了有效的“方子”。實(shí)踐證明，這樣的教學(xué)是成功的，學(xué)生在計(jì)算的準(zhǔn)確率和速度兩個(gè)方面都有極大的提高。答案的確錯(cuò)了，怎么錯(cuò)的？為什么會(huì)有這樣的想法？又怎樣糾正呢？如果我們的解題教學(xué)能抓住這一契機(jī)，并就此展開(kāi)討論、反思，無(wú)疑比講十道、百道甚至更多的例題來(lái)鞏固則要好得多，而這點(diǎn)恰恰容易被我們所忽視。本題在解答過(guò)程中，應(yīng)考慮△ABC三個(gè)內(nèi)角都可能為直角的情況，故進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵。

二、及時(shí)反思解題方法，探求一題多解和一題多變，培養(yǎng)解題的變通性和靈活性

“題目千萬(wàn)道，解后拋九霄”難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于作解后反思，探求一題多解和一題多變，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面，無(wú)疑對(duì)能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。

如題 2：已知 且 ，求 的最小值。法1：均值不等式法

此題答案有誤。因?yàn)棰牛?式的等號(hào)不能同時(shí)成立，所以⑶式等號(hào) 不能取。此法作為例子強(qiáng)調(diào)使用重要不等式時(shí)等號(hào)成立條件的必不可少和一致性， 這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性。

法2，1的妙用

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法3，構(gòu)造不等式法

[來(lái)源：Z

變式3：已知 （ ）求 的取值范圍。

法4，換元后構(gòu)造均值不等 式法

法5，用判別式法

變式4：已知 求 的范圍。

法6，三角代換法

變式5：已知00，b>0，則 的最小值。

三、及時(shí)反思解答過(guò)程， 探究通性通法，提高綜合解題能力

所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法。這種通性通法在高中數(shù)學(xué)中是很多的，如二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的一般方法：配方、作圖、截段等。如將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式等可以編制出很多精彩的試題。這些問(wèn)題考查了解析幾何的基本思想方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要對(duì)這些普遍性的東西不斷地進(jìn)行概括總結(jié)，梳理出一般方法和思路，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)去解決碰到的這類問(wèn)題，便會(huì)迎刃而解，這對(duì)提高解題能力尤其重要。

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾曾指出，“反思是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力”。總之，解題后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察探究、歸納類比、抽象概括，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行甄別，會(huì)使學(xué)生撥開(kāi)“迷霧”，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來(lái)；在反思中學(xué)會(huì)傾聽(tīng)、學(xué)會(huì)交流、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)分享，養(yǎng)成獨(dú)立思考、主動(dòng)探究的習(xí)慣，體會(huì)解題帶來(lái)的快樂(lè)，享受探究帶來(lái)的成功感。常此以往，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是非常重要的，并懂得如何把題解好解對(duì)，這會(huì)幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。

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