看山是山，看山不是山，看山仍是山*
——極值點偏移問題再探究

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 田富德

看山是山，看山不是山，看山仍是山*
——極值點偏移問題再探究

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 田富德

宋代禪宗大師青原行思提出參禪的三重境界：參禪之初，看山是山，看水是水；禪有悟時，看山不是山，看水不是水；禪中徹悟，看山仍是山，看水仍是水.

其實數學解題，特別是數學壓軸題亦是這三重境界.本文以極值點偏移問題為例談解數學壓軸題的三重境界.

極值點偏移問題近幾年倍受命題者的青睞，在各省市高考題、模擬題頻繁出現，在2016年高考全國卷壓軸題亦為極值點偏移問題.極值點偏移問題能成為高考考查的熱點，是因為這類問題能較好考查學生的邏輯推理能力、數據處理能力、轉化與化歸思想、函數與方程思想等.

例1 已知函數f(x)=lnx-ax2，a為常數.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)若函數f(x)有兩個零點x1,x2，證明：x1x2>e.

只需證g(t)>0，證明略.

以上證明是常見的利用零點消參的換元解法.初看此題第(Ⅱ)問，具備了極值點偏移問題的主要特征：其一，條件為雙零點；其二，證明與兩零點有關的不等式.看山是山，我們卻不好用極值點偏移解題策略解此題.

我們注意到極值點偏移是研究兩零點和的有關不等式，而本題則是研究兩零點積的有關不等式，故我們自然將問題“x1x2>e”轉化為“lnx1+lnx2>1”.但此時已轉化為兩零點的對數和有關的不等式，亦不能看作極值點偏移問題，看山不是山！

然而lnx1、lnx2亦可成為另一個函數的兩零點，故我們可嘗試換元將此題轉化為極值點偏移問題.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)若函數f(x)有兩個零點x1,x2，其中a>0，證明：x1+x2<-ln2a.

解：(Ⅰ)略；

g″(x)=-4ae2x單調遞減.

說明:本例解答在構造函數p(x)時，并未將g(x)的表達式代入，而是對函數p(x)進行抽象處理，在一定程度上減少了求導計算量.此法適用于構造函數的導函數較為復雜，求導不好判斷正負，但要求g″(x)在定義范圍內是單調的.

我們便可得到如下試題：

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)若函數f(x)有兩個零點x1,x2，其中a>0，證明：1

例3的結論是通過放縮而得到的，其中x1+x2>1的證明可以直接利用極值點偏移策略解題，亦為證明x1+x2<-2ln2a-1做好鋪墊作用.

例4 已知函數f(x)=alnx-x，g(x)=x2-(1-a)x-(2-a)lnx，其中a∈R.

(Ⅰ)若g(x)在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；

(Ⅱ)若函數F(x)=f(x)-g(x)的圖像交x軸于A,B兩點，A,B的中點橫坐標為x0，問F(x)的圖像在點(x0,F(x0))處的切線能否平行于x軸？

分析：連續函數若有唯一極值點，那僅該極值點上所在位置的切線方能平行于x軸.題問點(x0,F(x0))處的切線能否平行于x軸，換句話說x0是否為極值點，極值點是否偏移.設函數的極值點為m，問題轉化為m是否等于x0，若有偏移，則只需證x0>m或x0

解：(Ⅰ)a≥2；

當x∈(0,m)時，F′(x)>0，F(x)單調遞增；當x∈(m,+∞)時，F′(x)<0，F(x)單調遞減.

結合(*)，知x0不是極值點，故點(x0,F(x0))處的切線不能平行于x軸.

說明:本題的其他證法在本文略去，從表面看，本題與極值點偏移無關，深入分析亦為極值點偏移問題.所謂看山是山，看山不是山，看山還是山.即要對題設深入分析其本質，便可看山是山，看水是水.

學數學，要在壓軸題上有所突破，必須建立起已知和未知的聯系，建立起基本題型與創新題型的聯系，做好基本方法和基本策略在創新試題遷移，弄清試題的多角度本質，每一個角度都可以是一種解題方法.

[1]刑友寶.極值點偏移問題的處理策略[J].中學數學教學參考：上旬，2014(7)：19-22.

[2]賴淑明.極值點偏移問題的另一本質回歸[J].中學數學教學參考：上旬，2015(4)：49-51.

[3]田富德.以拐點偏移為背景的函數導數試題命制[J].中學數學研究(江西師大)：2016(2)：10-13.

[4]田富德.一道模擬題的加強與改編[J].中學數學研究(江西師大)：2016(4)：12-14.

* 注：本文系2015年度漳州市基礎教育課程教學研究立項課題《高中數學解題教學現狀與優化》階段性研究成果.