一類含絕對值遞推數列的性質探究

江西省九江縣一中 (332100) 王 鋒

一類含絕對值遞推數列的性質探究

江西省九江縣一中 (332100) 王 鋒

數學學習要求學生不但能掌握獨立的知識點，還會將這些知識點很好的融會貫通起來.而高考中，對各種數學思想方法的考查也是豐富多樣，學生如果可以靈活的運用這些思想方法，往往能夠巧妙的解決一些高難度的試題.其中，函數思想在代數部分的應用非常重要.本文通過一道高考題來看看含絕對值遞推數列的問題并探究此類問題的相關性質.

2014年湖南高考理科數學第20題：已知數列{an}滿足a1=1，|an+1-an|=pn，n∈N*.

(1)若{an}是遞增數列，且a1,2a2,3a3成等差數列，求p的值；

分析:本題將數列的遞推公式與數列的增減性聯系在一起，以較為復雜的方式對此類數列進行考查，重點考查了學生的分類討論思想和函數方程思想的掌握程度.其中第一問相對較為容易，利用函數單調性去掉絕對值簡化遞推公式，再通過2個特殊項的關系列出兩個方程解出p的值；第二問則必須將數列拆解成兩個獨立的數列來進行分析，一方面需要考慮兩個數列本身的單調性，另外一方面又必須考慮兩個數列之間要滿足的遞推關系，所以需要對其性質進行嘗試性探索和研究才能正確去掉絕對值.

因為{a2n-1}是遞增數列，{a2n}是遞減數列，所以a2n+1-a2n-1>0,a2n+2-a2n<0?-(a2n+2-a2n)>0，所以(a2n+1-a2n-1)-(a2n+2-a2n)>0?a2n-a2n-1>a2n+2-a2n+1.

評注:從第(2)問的結果來看，我們發現滿足條件的數列是一個收斂數列，即當n→∞時，數列的通項an趨近于某一個常數.顯然，本題中當n→時，數列的通項an趨近于即所以數列{an}收斂于而在本題中決定其收斂性的因素有兩個，一個是條件|an+1-an|=pn中p的值，另一個則是數列{a2n-1}和數列{a2n}的單調性.

探究二:當p>1且{a2n-1}是遞增數列，{a2n}是遞減數列時，此時|an+1-an|=pn，若a2a1，即a2=a1+p，則a3=a2+p2=a1+p+p2或a3=a2-p2=a1+p-p2

探究三:當條件|an+1-an|=pn中的p滿足0a1，即a2=a1+p，若a3>a2，則a3=a2+p2=a1+p+p2，a4=a3+p3=a1+p+p2+p3>a2或a4=a3-p3=a1+p+p2-p3>a2，這與{a2n}是遞減數列相矛盾.所以a3

探究七:當條件|an+1-an|=pn中的p=1，且{a2n-1}和{a2n}都是遞增數列時，可得an=a1+n-1；當條件|an+1-an|=pn中的p=1，且{a2n-1}和{a2n}都是遞減數列時，可得an=a1-n+1.因此數列{an}是發散的.

當|an+1-an|=pn中的p≥1且數列{a2n-1}和{a2n}分別是單調數列時，數列{an}是不收斂的.其中①當p=1時，滿足“{a2n-1}是遞增數列，{a2n}是遞減數列”或“{a2n-1}是遞減數列，{a2n}是遞增數列”的數列{an}是不存在的；②當p=1時，滿足“{a2n-1}和{a2n}都是遞增數列”或“{a2n-1}和{a2n}都是遞減數列”的數列{an}是發散的；③當p>1時，滿足“{a2n-1}是遞增數列，{a2n}是遞減數列”或“{a2n-1}是遞減數列，{a2n}是遞增數列”的數列{an}不唯一；④當p>1時，滿足“{a2n-1}和{a2n}都是遞增數列”或“{a2n-1}和{a2n}都是遞減數列”的數列{an}是發散的.

[1]王相才.關于一個數列收斂性的討論[J].內蒙古民族大學學報，1997(1):67-69.

[2]張 金.遞推數列的單調性與收斂性的進一步探討[J].齊齊哈爾大學學報(自然科學版)，2010，26(5):85-87.

[3]李樹茂，趙煥光.關于遞推數列收斂于極限的一個漸近性定理[J].浙江師范大學學報(自然科學版),2009,32(1):51-54.