變“封閉”為“開放”，讓探究更精彩

浙江省紹興市柯橋區財經學校 (312000) 韓紅芳

變“封閉”為“開放”，讓探究更精彩

浙江省紹興市柯橋區財經學校 (312000) 韓紅芳

1．問題的提出

近日，筆者擔任了學校高三年級數學期中試卷的命題工作.其中，填空題的最后一題系一個高考題的第(Ⅰ)問改變而成.原題是呈現了結論的一個“封閉”題，現設計成一個“開放”型填空題.從閱卷反饋看，學生的得分很不理想.以筆者所任教的兩個班(共103人)為例，只有4個學生給出了正確答案是①④，其余學生的答案幾乎都是①②.面對這個略顯意外的結果，筆者決定利用試卷講評的機會，花一堂課時間，和學生做一番探究.

(Ⅰ)當x∈(0,x1)時，證明x

2．探究實錄

課堂上，教師先不告訴學生正確的答案，而是請選①②的一位學生來講講自己的解法.

圖1

生1：采用數形結合的方法.具體是：方程f(x)=x有兩根，可轉化為拋物線y=f(x)與直線y=x有兩個交點，如圖1所示.從圖形中很容易看出：當0x且f(x)>f(x1)=x1，故選①②.

話音一落，不少學生都附和著說：是這樣啊，“秒殺”！見狀，教師仍不動聲色，只是就學生能運用函數與方程、數形結合的思想方法來解題，表示認同與贊賞.接著，

請選①④的一位學生來談談自己的解法.

生2：一開始，我也是這樣想的，但發現有個問題：

轉而想到解填空題的一個好方法，即用特殊值法來求.

師：很好，面對這兩個不同的解法結果，大家怎么看？

經討論，學生達成下列一致意見：首先，結論①肯定是對的，因為無論直線與拋物線如何相交，在x∈(0,x1)上，拋物線必在直線的上方.其次，借特殊函數檢驗可知結論②一定錯誤，即圖1是錯誤的.第三，用特殊函數檢驗也不能保證結論④一定正確，還需給出一般的推理論證.現先給出結論④的證明.

接下來，學生感興趣的是：如何正確畫出拋物線與直線的位置圖形？

圖2

由結論f(x)

據此，學生又提出值得證明的兩個代數結論：

最后，師生共同歸納：上述填空題的本意是突出考查代數推理與運算能力，編制時基本“堵死”了“借圖說話”這條路，即正確圖形的得到完全依賴于“以數助形”.因此，在解決與函數有關的問題時，我們要重視幾何直觀，但也不能過分依賴直觀，要把形的直觀和數的精密結合起來，才能更深刻、更有效地解決問題.

3．反思

基于上述探究，給我們的啟發是：

3.1 變“封閉”為“開放”，讓探究更精彩

探究學習能否富有成效地開展，一個很重要的原因是選取適宜的探究問題.而將“封閉題”改為“開放題”，就是一個不錯的選擇.理由是：面對“封閉題”，學生的狀態是“要么會要么不會”；而面對“開放題”，學生的想法就多了，哪怕這些想法不夠成熟、甚至是錯誤的都不重要，重要的是學生的學習會變得更主動、更有趣味，從中提出值得研究和感興趣的問題也變成可能.總之，將“封閉題”改變為“開放題”，是引導學生展開探究性學習的一個有效舉措，值得我們在教學實踐中不斷嘗試、探索與完善.

3.2 讓課堂“慢下來”，讓講評更高效

在高三的復習課，特別是試卷講評課上，很多教師都會采用分析解題思路、講解解答過程的“教師一言堂”授課模式.這樣的課堂容量大、節奏快，看似效率挺高，但實際上學生更多的只是走馬觀花、疲于應付、淺嘗輒止，效果可想而知.日本教育學者佐藤學說過，教育往往要在緩慢的過程中才能沉淀下一些有用的東西.因此，在教學過程中，教師應該讓課堂“慢下來”，尊重學生的認知規律，留給學生足夠的時間去探究、交流、反思、體悟.唯有如此，學生方能將教師的“外力”真正轉化為自己的“內功”，不再發出“老師講的都能聽懂，自己做題還是不會”的感嘆.

3.3 代數推理能力應常抓不懈

從填空題測試結果看，學生的確存在一個“軟肋”：運算與推理能力較薄弱.原因是：在義務教育階段，數學教學并沒有按照數學的公理化結構組織教學內容，部分定理作為公理使用(教學公理)，一些結論(包括定理、公式等)由圖形直覺或通過歸納方式就直接確認了.這種處理方式在降低學習難度方面確實非常必要，卻也使學生忽略、無視甚至誤解了數學推理特征和數學的嚴謹性要求.同時，義務教育階段的數學學習也大大降低了數式運算的要求，使得學生的代數式運算能力較低，面對稍稍繁難的運算，有較大的抵觸與畏難情緒.所有這一切表明，高中數學一定要特別重視與加強運算與推理能力的培養，就學生而言，一定要讓他們明白：學會運算和推理是高中數學學習的兩大基本任務，也是今后高考取得好成績的保證.