注重“四基”凸顯“四能”，彰顯數學核心素養
——以幾道2022年平面向量高考題為例

馬洪博

廣東省東莞市第七高級中學 (523503)

平面向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁.具體設計高考命題時，可從幾何角度來設置，也可從代數角度來設置，借助平面向量的相關概念、公式及其變形、定理性質、運算等來創設情境，綜合相關知識與數學思想方法，考查相關的數學核心素養等；平面向量還可設計運動變化的情境，即運動的點、運動的向量、變化的角等，這樣可將向量與最值、定值問題相關聯，利用函數、基本不等式、三角函數等工具，探究相關的最值問題.這類問題融基礎性、綜合性、創新性于一體，較為全面地考查考生數學運算素養、數學抽象素養和直觀想象素養等，考查學生的邏輯思維能力.

1.注重平面向量概念，考查數學基礎知識

平面向量中涉及向量、模、夾角、數量積等眾多概念，借助概念的考查，合理融入數學基本知識，是創設高考數學試題中比較常見的一類創新情境.

分析：根據題設條件，確定平面向量的位置關系并引入平面向量的夾角，結合平面向量的數量積定義及其對應的公式，進一步綜合同角三角函數基本關系式來分析與應用，實現參數的確定與求解.

點評：圍繞平面向量的數量積定義，是解決與數量積相關問題中最常用的一種技巧方法，關鍵是確定對應向量的夾角與模，并加以合理綜合與應用.借助相關問題的定義，回歸對應問題的本質，很好落實數學基礎知識等方面的掌握情況.

2.注重平面向量運算，考查數學運算素養

平面向量中涉及線性運算與坐標運算等，同時滲入模、數量積等相關知識，借助不同場景的創設，很好通過基底法或坐標法等數學運算場景來考查數學運算與應用.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析：根據題目條件，利用平面向量的模及其性質，數量積的運算以及性質等，通過平面向量的線性運算的模的平方展開，結合數學運算，借助平面向量的數量積的整體思維進行求解.

點評：圍繞平面向量的模與數量積等相關公式及其應用，通過代數式的展開運算與變形，結合運算公式、基本性質等來分析與處理，能很好考查數學運算這一基本素養與能力，這也是高考中重點考查的一個基本點.

3.注重相關公式變形，考查數學抽象素養

平面向量中涉及向量的平行或垂直關系、向量基本定理、數量積公式等，有其自身的內涵與對應的變形公式，在實際應用中，經常借助相關的公式應用或變形公式等來解決問題.

A.-6 B.-5 C.5 D.6

點評：圍繞平面向量的數量積的變形公式，結合兩個不同向量夾角的余弦值的變形公式來構建，這也是解決此類問題中比較常用的一種技巧方法.合理借助變形公式構建關系式，利用方程(組)的建立來解決一些相關的應用問題.

4.注重代數幾何結合，考查直觀想象素養

借助創新情境設置，熟悉對應的應用情境并具備較強的平面幾何的解題意識，從中抽象出關鍵平面幾何圖形，合理進行知識遷移，運用圖形性質解決對應的平面向量問題.

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

分析：根據題設條件，構建對應的平面幾何圖形，借助線段中點的確定，利用平面向量中的極化恒等式加以轉化，進而通過基底的變形，借助三角函數的圖象性質來確定對應向量的數量積的取值范圍問題.

圖1

點評：圍繞平面向量所對應的平面幾何圖形實質，構建對應的平面幾何圖形，串聯起平面向量的數量積、線性運算與對應的平面幾何圖形中的長度、角度等之間的聯系，從而有效實現平面向量向幾何、代數的巧妙結合與合理轉化.

5.注重思想方法應用，考查解決問題能力

平面向量問題中，結合對應的幾何或代數特征，可以很好滲透數形結合思想、函數與方程思想、一般與特殊思想等思想方法方面的應用，很好落實解決問題的能力與應用.

圖2

分析：結合題設條件，從一般與特殊思想入手，巧妙構建特殊平面幾何圖形——直角三角形，綜合相關信息，合理直觀形象地構建起對應的數學模型，利用數學模型的直觀來轉化與處理.

點評：圍繞一般與特殊思維，借助與之相關的元素(涉及函數、向量、圖形等，這里是特殊圖形)構建，合理數學建模，巧妙綜合應用.這里利用特殊平面幾何圖形，“數”與“形”相結合，直觀形象分析，減少數學運算，優化邏輯推理.

平面向量試題注重數學基礎知識和基本技能的考查，主要考查平面向量運算及其幾何意義、用平面向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，以及平面向量與其他知識、思想方法相關聯的問題等，能充分體現考生對解題經驗與技巧方法的積累程度，以及數學運算與直觀想象核心素養的水平.