連續型隨機變量函數分布的探討

摘 要：隨機變量的分布函數在現實生活中有著非常多的運用，與其分布相關的研究同樣是大部分教材重要的組成內容。往往計算機變量函數分布能夠采取公式法又或是分布函數法，正常狀況下，公式法所需具備的條件非常的嚴格。本文對連續型隨機變量函數分布進行較為深入的研究。

關鍵詞：連續型隨機變量；分布函數；應用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.05.218

1 連續型隨機變量中的“連續”界定

連續型隨機變量與離散型隨機變量是完全不同的，經過其所存在的取值點集特點來概括，運用全新的工具分布F（x）函數來對其進行界定，也就是如果X的分布函數都可以寫為某一非負函數f（x）的變上限積分模式，便將它叫做連續型隨機變量。

（1）性質1 針對連續型隨機變量X存在：

a.

b.。

根據以上所闡述的特性能夠發現，連續型隨機變量大都是探討相互持續的點集中的取值概率，比如：區間[c，d]等，它的某個固定點位置處的概率是0。換而言之，連續型隨機變量所分析的是各式各樣的有限區間、數軸以及半數軸等。

但是，若果取值點集是半數軸、有限區間、數軸以及并集的隨機變量，

其并非一定是連續型，比如：。其同樣是沒有辦法

采取連續型隨機變量全部的能夠進行取值的點集的特點來實施概括。

（2）性質2 對于連續型隨機變量X，如果f（x），F（x）所代表的是密度函數以及分布函數，那么便存在：

a.f（x）≥0；b.；c.f（x）=F′（x），在f（x）的連續點便成立。

較為顯著的是，f（x）在XOY坐標平面中所對應的的圖像，處在X軸以及它上方的一個曲線，同時此曲線和X軸間區域的面積是1。然而f（x）并不能確定為（-∞，+∞）區間內的連續函數，同時其所有不連續點均是單獨存在的、數量有限的點集，然而從其主體層面依然是分段式的連續函數，同時在f（x）的連續點處的F（x）可導。此處補充說明的是，性質2中所列出的a、b均是f（x）能夠成為連續型隨機變量函數的充要條件。

（3）根據高等數學相關理論能夠得知，變上限積分函數F（x）一定是（-∞，+∞）區間內的連續函數。針對普通性的分布函數僅僅需要其達到右連續，例如：連續型隨機變量對應的分布函數是全部連續的，換而言之，連續型隨機變量的概率累積實漸漸積累的，并未產生跳躍式的增長。其同樣是連續型隨機變量最為主要的“連續”特點，然而并不能說明分布函數為連續函數，其所對應的隨機變量必然是連續型的。

2 連續型隨機函數分布的計算方法

2.1 復合函數單調

定理1 假定隨機變量X存在著概率密度函數fx（x），fx（x）在區間（a，b）內不可能為0，函數g（x）處處可導同時始終存在（又或是始終存在），那么Y=g（X）便為連續型隨機變量，同時，其間：α=min（g（a），g（b））；β=max（g（a），

g（b））；h（y）為g（x）的反函數。

2.2 復合函數分段單調

定理2 假定隨機變量X的概率密度函數為fx（x），同時fx（x）在區間（a，b）范圍內等于0，函數g（x）在（a，b） 的不重復的子區間I1，I2，...中逐段的嚴格單調，其所對應的反函數分別是h1（y），h2（y），...，同時，都是連續函數，那么Y=g（X）便為連續型隨機變量，同時其所對應的概率密度函數是

，其間：α=min（g（a），

g（b））；β=max（g（a），g（b））。

3 連續型隨機變量分布函數的部分性質與證明

無論X是連續型的又或是離散型的隨機變量，其所對應的的分布函數F（x）都有以下的基本性質：1，2，3

性質1 單調性：F（x）為（-∞，+∞）區間內的單調遞增函數；

性質2 有界性：0≤F（x）≤1，且

性質3 右連續性：F（x+0）=F（x）。

性質4 如果隨機變量X為連續型，F（x）所代表的是其對應的分布函數，那么Y=F（x）滿足[0，l]區間為的均勻分布。

證明 假定p（x）代表的是隨機變量x的密度函數，PY（y）所代表的是隨機變量Y=F（x）對應的密度函數，那么便會有F`（x）=P（x）。因為y=F（x）是（-∞，+∞）區間內的單調遞增函數，所以F（x）在（-∞，+∞）區間內有著相應的反函數，假定該反函數是，0≤y≤1，那么：

當y<0或y>1時，PY（y）=0；

當0≤y≤1時，

求導，得：

根據以上所述，Y=F（X）的密度函數是

因此，Y=F（X）滿足[0，1]區間內的均勻分布。

性質5 如果隨機變量X為連續型，F（x）所代表的是分布函數，F（x）在[a，b]區間內連續并且嚴格單調，（此處的a能夠為-∞，b能夠為+∞），那么同分布，其間U滿足[0，l]區間內的均勻分布。此處是F（.）所對應的反函數。

證明 假設其密度函數是，因為F（x）在[a，b]區

間內連續并且嚴格單調遞增，因此假定其所對應的的反函數是，此處0≤y≤1，假設所對應的密度函

數是PY（y）。根據U的密度函數能夠得知：

當y<0或y>1時，PY（y）=0；

當0≤y≤1時，

求導，得：

當a為-∞，b為+∞的時候，以上結論同樣成立。能夠得知，和X同分布。

參考文獻：

[1]李壽貴，余勝春.概率論與數理統計[M].北京：科學出版社，2011.

[2]歐俊豪，王家生，徐漪萍等.應用概率統計[M].天津：天津大學出版社，1999.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2001.

作者簡介：陳曉（1982-），女，河南濟源人，本科，助教，研究方向：應用數學。