理解數學課程，落實核心素養

趙國義　邵國臣

時下，“核心素養”已成為人們熱議的話題。各地的培訓機構“與時俱進”，紛紛組織召開以“核心素養”為主題的培訓會或研討會，報紙雜志也頻頻發表這方面的文章。于是“核心素養”一詞迅速升溫，成為一個比較流行的詞匯。當以“核心素養”為標志的課改理論“來襲”的時候，一線教師擔心的是還得受那些云里霧里“先進理念”的折騰。讓我們看看高中數學核心素養與現行《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《標準》）中的課程目標有什么聯系與不同。

核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析。

課程目標：空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理。

若將“核心素養”與《標準》中的“五大基本能力”進行對比，除“數學建模”外，有五條相同或相近。核心素養的“落腳點”是培養學生的“理性精神”，什么是“理性精神”，《標準》中課程目標第5條、第6條給予了比較好的詮釋：鍥而不舍的鉆研精神和科學態度，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神。顯然，“核心素養”是在《標準》課程目標基礎上的繼承與發展，我們認識到這一點，則不必擔心再受什么“折騰”。其實，數學教師的基本任務是把數學教好。怎樣才算是把數學教好，理解數學課程是落實“核心素養”的關鍵。

李邦河院士說：“數學根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”中學數學概念的形成過程中有很多“規定”，學生不知道為什么要有這樣的規定，當他們問老師時，老師往往說“這是規定，你記住就是了。”于是，學生會認為概念中的“規定”是人為“編造”的，以后不再問“為什么”，慢慢對數學學習失去了興趣。教師要把數學教好，必須理解“為什么”背后的數學含義。

一、因知識內部的邏輯性而“規定”

數學知識的特點之一就是具有較強的邏輯性和系統性，其中一些“規定”，是由于數學知識內部發展邏輯性而決定的，而不是隨意規定的。

案例1. 為什么規定“空集是任何集合的子集”？

筆者在很多地區聽不同教師講這個內容時，都沒有對其進行解釋，學生也不問，下課后問一些學生，學生答道：“這是規定，沒有為什么。”

很顯然，這種現象是學生多年的學習習慣形成的，他們經歷小學、初中，經歷不同的學校，不同的教師。然而，這些教師有一個共同的問題是，沒有對數學中的“規定”進行合理解釋，也沒有引導學生進行質疑，為什么要這樣進行“規定”？久而久之，學生的思維就會出現這樣的“麻木”狀態。

解釋1：可與自然數進行類比。

自然數的功能之一是基數功能，即用來刻畫某一類“東西”的多少，就是描述一個有限集合元素的個數；顯然空集是有限集合，并且很容易理解用“0”來描述“空集”中含元素的多少。0是最小的自然數，空集是“最小”的集合，規定空集是任何集合的子集。

解釋2：因為集合運算性質得：A∪B= A，即B是A的子集，那么，我們知道A∪= A，即空集是A的子集，A表示任何集合，故空集是任何集合的子集。可以先讓學生了解空集以及子集概念，再把這個“規定”作為一個探究點，讓學生思考能否在學習集合的運算后進行解釋。

案例2. 為何規定零向量與任何向量平行？

教材中規定：零向量與任何向量平行，即對任意向量a都有0∥a。然而，為什么要有這樣的規定，一般教師都未進行解釋，好像這樣做是“理所應當”，學生感覺這樣的“規定”是編教材的人“憑空”寫出來的，如果教師不對“規定”背后的數學含義及合理性進行解釋，他們會認為數學不講道理，數學教師不講道理。

解釋：為何規定零向量與任何向量平行，而不規定與任何向量垂直呢？首先，因為零向量方向是任意的，若向量a、b平行，其中b是非零向量，則存在唯一實數λ使a=λb成立，若a為零向量，則λ=0。

如此規定是為了滿足向量加減法的封閉性。我們將與向量a共線的向量構成一個集合A，所謂封閉性，就是在這個集合里，一定存在一個量，使得集合里的任意一個向量與之相加等于本身。對于數字集合，這個數就是零，對于向量集合，這個量就是零向量。即0+a=a。

另外，因為a+（-a）=0，規定零向量與任意向量平行也是合理的。

這方面的例子還很多，如：

為什么“負負得正”？

為什么規定a0=1，a-n=，0！=1，Cn0=1？

為什么圖像關于原點對稱的函數稱為奇函數？關于軸對稱的函數稱為偶函數？

二、因中學生知識內容所限而“規定”

數學知識的學習是有階段性的，大部分數學知識的學習到大學或研究生階段還要進一步學習或完善，中學階段只能學習其中一部分， 由于其“基礎性”所限，中學數學有些概念在定義的過程中，必須做出相應“規定”。

案例3. 函數概念為什么規定是“一對一”“多對一”？

教材對函數的概念進行定義時，對于這條規定，很多學生并不理解，不知道為什么要這樣規定，又不敢去問老師，怕遭受“閉門羹”。然而，中學數學教師大都受過高等教育，都學過《數學分析》這門課程，應該和學生解釋這樣規定的合理性。

解釋：實際上，中學對函數的定義是單值函數，例如：

由圓的方程x2 +y2 =1，解出y= 1-x2 ，x∈ [-1，1]

根據函數的定義，它就不是函數，更準確地說，它不是單值函數，而是多值函數。由于高中不討論多值函數，但是它可以拆成兩個單值函數來研究：

y=± 1-x2， x∈ [-1，1]；y=- 1-x2， x∈ [-1，1]

因此，我們主要研究的是單值函數，所以“一對一”“多對一”并非函數的本質屬性，函數中的本質屬性為“對應”。

這類規定的例子還有：

平面幾何“兩點之間線段長最短”；

初中數學am·an=am+n，（am）n=amn，（ab）n=an·bn，規定m，n都是正整數。

高中數學中集合的確定性、互異性和無序性。

三、因數學概念的“基本性”而“規定”

我們給一個數學概念進行定義時，概念形成的要素應該是最“基本”的。否則，不能作為給一個概念下定義的基本要素。

案例4.描述橢圓的扁平程度，為什么定義離心率？

教材中定義橢圓（雙曲線）的離心率為焦距與長（實）軸的比，即，它從數值上描述了橢圓的扁平（雙曲線開口開闊）程度。從這個意義上講，用比更直觀（如圖1）， 為什么不用來定義離心率，而用呢？

解釋：設P是橢圓上的任意一點，由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|=2c，其中b2=a2-c2，a、c是基本量，而b非基本量。對于雙曲線b是虛半軸，不能直接看出來。所以用基本量a、c表示橢圓、雙曲線的離心率。

案例5.為什么要規定單調性和奇偶性作為函數的基本性質？

通過多年教學和教研實踐了解到，一般不會有教師去思考這個問題。教材怎么寫，我就怎么教，至于為什么要這樣寫，就是那些編寫教材專家的事情。看來，如果不體會教材的編寫意圖，要教好數學是不可能的。

解釋：函數中的本質屬性為“對應”，我們自然關注的是，如果自變量按一定規律變化，相應函數值 f（x）呈現怎樣的變化規律？ 如果自變量x取值在定義域D的某個區間上取值逐漸增加時，研究相應f（x）的變化趨勢，即是函數的單調性；如果自變量x取值關于原點對稱，研究相應f（x）的變化規律，即為函數的奇偶性。

以上由函數的概念可以知道，為什么單調性和奇偶性作為函數的基本性質。除此以外，還有一條更重要的原因，這一條往往被中學數學教師所忽略。如函數的奇偶性：

任意一個定義在實數集R上的函數f（x）都可以寫成一個奇函數和一個偶函數的和：

，

設 顯然函數g（x）是偶函數，h（x）是奇函數。

這類規定的例子還有：

平面的三條基本性質。

同角三角形函數關系兩個基本公式：

平方關系： sin2α+cos2α=1，商數關系：

（原來有八個公式，其余六個可以由這兩個公式推導得出）。

圓錐曲線簡單的幾何性質。

四、因其數學意義而“規定”

案例4.算術平均數

我們在小學時就會求一組數據的“平均數”，但是大多數人并沒有想過平均數真正意義。其實，算術平均數是一組數據的代表值，起著衡量數據資料的集中趨勢和大致水平的作用。一組數據的“代表值”，應該具備這樣的特征，與每一個數據都“很近”，怎樣刻畫與每一個數據都“很近”呢？

分析：距離在數據上往往用“絕對值”來表示，我們用x1，x2，…，xn表示樣本數據，用a表示這個“代表值”，那么，函數f（x） =∑|a-xi|在x =a時取最小值。

怎么求a呢？有絕對值號很不方便計算，因為我們并不是要計算這個絕對值的和是多少，而是要找出x1，x2，…，xn 給數據的代表值a，因為絕對值非負，能否有另一個非負數來替換它而達到同樣的效果呢？顯然可以用“平方”來替換，即

顯然，當且僅當時，f（x）最小。至此，我們知道了“平均數”的真正意義。

事實上，科學上的任何規定，都是有“為什么”的，連數學符號的采用都是如此。

任意x，為什么記作Ax，是因為若將anyx縮寫為“ax”或“Ax”，容易引起誤解，于是便寫成Ax；

存在x，為什么記作Ex，是因為把“存在”exist取字頭后，e與x連寫成，易引起誤會，仿照“任意”any字頭A上下翻轉，仍是E，于是就左右翻轉為E；

為什么用S，∑表示“求和”？S是sum第一個字母，希臘文的∑，相當于英語里的S。有趣的是積分符號為什么采用“∫”，它實際是一個拉長了的S，因為“定積分”是“分割”、做“和”，取極限，實際上是求和。又由于牛頓——萊布尼茲公式，建立了定積分的計算與不定積分所求原函數的關系，這樣一來，不定積分采用符號∫，定積分采用符號∫ab。

袁隆平院士談到，他讀中學時數學成績不太好，“我最喜歡外語、地理、化學，最不喜歡數學，因為到現在為止，我仍然搞不懂為什么負負相乘得正，就去問老師，老師告訴他不要問為什么，記得就是；學幾何時，對一個定理有疑義，去問，還是一樣的回答，我由此得出結論，數學不講道理，于是不再理會，從那時起我就對數學失去了興趣。”袁院士講的這段故事或許在我們每一個人身上都發生過，它給我們的啟示是：雖然這些“規定”背后的數學含義或許并不影響你的“學習成績”，但這對培養學生“核心素養”，增強學習數學的興趣，提高認識數學、理解數學能力是具有重要意義的。