微積分在解決物理問題中的應用與教學

李建杰

【摘要】微積分是運用運動的思維分析問題、解決問題的一種數學方法，在普通物理學中有著廣泛而重要的應用.在講授數學學理時，如何融會貫通地將數學與物理學有機結合起來，將微積分思想應用于物理問題的解決是一個大膽的嘗試.

【關鍵詞】微積分思想；物理問題

隨著生產與社會實踐的發展，科技創新正在突破學科分立，呈現出多領域高度融合的趨勢.社會主義現代化建設呼喚更多創新創業人才的涌現，這就需要教育、教學領域的改革不斷深化，特別是高職教育要在提高學生解決現實問題的能力上下功夫.因此，融通各學科知識，提高學生創新能力就成為教學的根本與關鍵.將微積分的思想、方法與物理學的概念、原理相融合，研究與物理知識相關的實際問題的計算步驟、微元選取和建立模型的方法；選好切入點，運用于教學實踐，有利于學生在學而知之時體會學科間知識融通的妙趣，從而調動學生學習的主動性，將創新思維融于數學教學中，推動理論數學貼近生活，向實踐型轉變.

一、微積分思想與物理學不可分割

在教學實踐中，我們深深體會到：微積分思想與物理學是相通的.微積分在物理學中有著廣泛而深入的應用.無論是質點力學，剛體的定軸轉動，熱力學基礎，還是靜電場、穩恒磁場都需要用微積分來分析與闡釋.

微積分初始的創立源于17世紀人類對自然科學探索之需要，天文學及力學等物理研究推動了數學的發展.天文學及力學的探索包括四類主要問題——已知物體運動路程與時間的關系求物體在任意時刻的速度和加速度，以及反之，已知加速度與速度，求物體在任意時刻的速度與路程；求曲線的切線；求函數的最大最小值問題；求積問題（計算曲線的弧長、曲線所圍區域的面積、體積及物體的重心等）.

微積分是高等數學的奠基石，它充滿了思辨的理念.包含著有限與無限的對立統一，近似與精確的對立統一.微積分思想和方法的精妙之處在于用運動的思維來看待和研究問題，通過有限向無限轉化，從而實現近似到精確的分析過程.用微分來建立方程、建立模型，用積分來求解方程模型，這是微積分應用的關鍵.

物理學是以實驗和觀察為基礎，并用微積分來描述物體間各個量的因果關系的學科.雖然物理學與數學研究領域各異，但解決問題的基本出發點與方法論是相通的，就是把復雜問題近似成簡單、基本、可研究的對象，從而使其可解.在這一過程中所運用的基本方法就是：將物理學所研究的對象在時間或空間上分割成小量，對小量進行近似求解，這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實結果.這就是微分的思想；由無限分割所得到的小量稱為微分元，簡稱微元.而把這些無限小的微元進行連續性求和，就是積分思想.把物理對象分割成微元后，不均勻量變成均勻量，變量可看作常量，將復雜問題簡單化.這一化整為零，再積零為整的研究方法，正是微積分思想方法的跨領域運用.

二、微積分思想與物理問題解決的融合

物理與微積分看似相互獨立，但實際上不可分割.物理是數學的延伸與應用，數學思維又滲透于物理的多個分支.大學物理中無論是質點力學，剛體的定軸轉動，熱力學基礎，還是靜電場，穩恒磁場都要用微積分來解決問題.

微元法思想——與中學物理相比，大學物理的基本特征在于所研究的物理量由原來的穩恒量和離散量變成了連續量和變量，要想在已有的基礎上，進行深入的學習與研究，微元法思想尤為重要.例如在力學中的速度、加速度、變力做功的求解中用到了位移元、時間元和速度元、功元；剛體質心的求解中用到了質量微元；在電磁學部分電場強度和電勢的求解用到了電荷元；在磁場強度的求解中用到了電流元等.有了微元之后我們就可以利用已掌握的知識求解這些微元的物理問題，進而利用求和的方法解決實際連續體的物理問題.

積分思想——中學階段的大部分定理和定律都是針對離散變量或是理想模型，對于連續量和變量的物理問題我們除了應用微元法外，還要利用積分思想，即對求得的離散的微元問題進行求和.從物理上說就是標量的代數和、矢量的迭加原理.例如：電磁學中高斯定理中高斯面內電荷的代數和、磁場安培環路定理中環路內電流的代數和等標量的迭加，還有電場強度、磁場應強度等矢量的迭加原理等.可以說積分是大學物理中應用最廣泛的方法之一.

實踐表明，微積分思想與物理問題解決的融合，實現了數學與物理課程的鏈接，有益于破除數學與物理學科的“隔膜”，從而提高學生應用數學方法解決物理問題的能力.

三、微積分思想在物理問題解決中的應用

如何將微積分的思維與物理學的學理有機結合起來，用微積分的方法分析與物理知識相關的實際應用問題，建立合理的數學模型，確立解決問題的一般方法，是教學的重點和難點.在教學中適時切入典型案例，展示微積分思想在物理學科中的運用，使學生加深理解微積分思想，感悟微積分思想的美妙與神奇，熟練運用微積分的方法分析物理問題，探求用微積分方法解決工程實際問題的一般規律，為后期教學做好準備.

針對高職學生學習特點與認知規律，僅選擇與力學、運動學、電磁學為背景的實例.主要方法如下：

首先，界定哪類物理問題需要微積分的方法來分析——這些問題突出特點在于所研究的物理量由原來的穩恒量和離散量變成了連續量和變量，要想利用已有的知識進行分析，需要利用微元法思想化繁為簡.

其次，掌握微積分核心，即微元的選取，是解決問題的關鍵——確定微元后先利用數學表達式描述這些微元近似的物理狀態，進而利用求和的方法解決實際連續體的物理問題.

最后，熟練運用微積分的一般解法步驟是解題的關鍵——包括用近似值代替實際量；各微元值求和，利用各種積分方法求得原函數，代入上下限.即完成了在物理背景下，運用微積分作為數學工具得到最終結果的完整過程.

基本步驟：

1.根據物理問題，確定相應的微元——能近似處理成簡單的物理模型，便于分析與解決物理問題；

2.建立合理的坐標系——物理問題與定量數學計算的聯結紐帶，把抽象的數學形式中所包含的物理內涵體現出來；

3.結合物理規律和公式，將物理模型轉換為數學模型——將其轉化成數學符號來進行表達；

4.應用微積分的性質進行計算，解決問題.

教學案例：

構建的案例有：動力學——如懸崖高度的估算、拱橋承受壓力問題、第二宇宙速度的計算、飛機減速傘的作用、降落傘下降速度、人在月球上能跳多高、交通管理中黃燈狀態持續的時間模型、火車轉彎時的軌跡線、列車的制動點、計算勻質薄板的重心；電磁學——并聯電路中電子元件問題、關于調節電路的總電阻問題、閉合回路中元件兩端電壓（電流）的變化規律模型、自感L與電阻R的閉合電路中，電流強度的變化規律；物體的振動方程——鐘擺的往復振動、彈簧的振動；物體冷卻模型——刑事偵查案件中死亡時間鑒定等.

四、微積分思想解決物理問題的教學思考

將微積分學理應用于解決物理問題的教學是一個嘗試.本文探析用微積分方法解決物理問題的一般規律、微元選取和建立模型的方法.適時將選取的案例運用于教學，通過微積分思想和方法的有機運用，使學生在潛移默化中體會跨學科知識融通的奧秘，使單純的數理灌輸成為可以動手動腦的實際問題的解決過程，從而使艱澀的教學生動活潑起來，架起教學研究與實踐應用的橋梁.

【參考文獻】

[1]賈俐佧.論普通物理與高等數學的相依關系[J].教育理論與實踐，2012（12）.

[2]歐聰杰.將微積分的思想融入大學物理的教學[J].教育教學論壇，2014（2）.

[3]梁小佳.微積分在大學物理中的應用探究[J].甘肅高師學報，2010（12）.

[4]許冬保.探究物理課程中微積分思想方法的隱性滲透與顯化教學[J].課程教學研究，2015（1）.

[5]趙建彬.物理學[M].北京：機械工業出版社，2006.