淺談無限的起源及發展研究

陳映明

【摘要】無限在高等數學中占有十分重要的地位.高等數學更多地在“無限”的領域、更多地以“無限”為手段和工具展開討論.極限、導數、定積分、級數等都屬于“無限”的范疇，所以高等數學的學習就特別需要更加清晰地理解認識無限.

【關鍵詞】無限；極限；認識；理解

無限在數學及其數學教學中占有十分重要的地位.初等數學更多地在“有限”的領域、更多地以“有限”為手段和工具進行討論.高等數學則更多地在“無限”的領域、更多地以“無限”為手段和工具展開討論.極限、導數、定積分、級數等都屬于“無限”的范疇，所以高等數學的學習就特別需要更加清晰地理解認識無限.人們習慣于有窮下的思維，一旦遇到無限就要格外小心，而高等數學就是與無限打交道的.

一、無限追源

中國有句古話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”一尺本來只是有限的長度，卻永遠也分不完.這古話里的無限足以讓我們去深深地理解和認識.

（一）古希臘（公元前6世紀前后）的窮竭法

從一個圓內接正方形出發，將邊數逐步加倍得到正八邊形、正十六邊形……，無限重復這一過程，隨著圓面積的逐漸“窮竭”，將得到一個邊長極微小的圓內接正多邊形.安提豐的窮竭過程是無限的，在當時主要是解決古希臘三大不能尺規作圖問題之一——畫圓為方，當然未能真正解決這一問題.兩千多年以后證明了π的超越性也就證明了畫圓為方不能尺規作圖.

（二）芝諾悖論

古希臘時期的芝諾從哲學的角度提出了四個著名的悖論：1.兩分法；2.阿基里斯與烏龜；3.非矢不動；4.運動場.

其中第二個悖論：阿基里斯永遠追不上烏龜.

假設烏龜在阿基里斯前面100米，阿基里斯的速度是烏龜的10倍.

如圖：

阿基里斯在A點時，烏龜在B點；阿基里斯追到B，烏龜爬到C；阿基里斯追到C，烏龜爬到D；……阿基里斯離烏龜越來越近，也就是AB，BC，CD，……這些線段越來越短，每個都只有前一個的110，每一個線段的長度都不會是0，亦即當阿基里斯按上面的過程去追烏龜時，在任何有限次之內他都追不上烏龜.

（三）劉徽的割圓術

劉徽從一個圓內接正六形出發，將邊數逐步加倍得到正十二邊形、正二十四邊形……，用圓內接正多邊形去逼近圓.通過計算正多邊形的周長和面積，從而得到圓的周長和面積.用圓內接正多邊形去逼近圓，這種逼近的過程是永無止境的，亦即無限的.

二、希爾伯特旅館

現實世界的旅館哪怕是全球連鎖都只有有限個客房，客滿以后再來客人就無法安排入住了.“有無數個房間的旅館”——人們把它稱之為希爾伯特旅館，當然這樣的旅館只是人腦的產物.

希爾伯特旅館客滿后又來了1位客人，老板能安排入住.

老板可以先請出原來房間里的所有客人，然后讓1號房間的客人搬到2號房間去住，讓2號房間的客人搬到3號房間去住，讓3號房間的客人搬到4號房間去住，這樣原來的客人都有房間住了，而1號房間卻空出來了，可以讓新來的客人入住.

希爾伯特旅館客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人，老板也能安排入住.

老板可以先請出原來房間里的所有客人，然后讓1號房間的客人搬到2號房間去住，讓2號房間的客人搬到4號房間去住，讓3號房間的客人搬到6號房間去住，……，這樣原來的客人都有房間住了，只占用了偶數號房間，所有的奇數號房間卻空出來了，有無數個奇數號房間正好可以讓新來的無窮個客人入住.

希爾伯特旅館客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無數個客人，老板仍能安排入住.

老板先讓原來房間里的客人都出來，然后讓1號房間的客人搬到10001號房間去住，讓2號房間的客人搬到20002號房間去住，讓3號房間的客人搬到30003號房間去住，……，這樣原來的客人都有房間住了，空出了一萬個又一萬個的空房間，正好可以讓新來的一萬個旅游團中的每一個客人入住.

希爾伯特旅館客滿后又來了無數個旅游團，每個團中都有無數個客人，老板能否安排？

答案是肯定的.上面的方法用不上了（方法等同于有理數排序，在此不再贅述），原因是從有限到了無限.

三、極限的產生和發展

無論是古希臘的窮竭法還是劉徽的割圓術，都孕育著極限的思想，只不過古希臘人“對無限的恐懼”繞開了極限，今天的我們對無限仍然是一知半解，就算是從事數學教育的也需要很好地理解和認識，所以才會有上述的“希爾伯特旅館”，這樣的旅館是二十世紀初德國大數學家希爾伯特給數學家們舉的例子，目的是幫助人們認識無限、無窮大.

極限思想的發展與微積分的建立密切相關.17世紀后半葉，牛頓、萊布尼茲各自獨立的創建了微積分.起初牛頓和萊布尼茲以無窮小為基礎建立微積分，后來都遇到了邏輯困難.以牛頓為例，他的微積分方法是：第一步他用無窮小增量作分母進行除法，第二步他把無窮小增量看作零，去掉包含著它的項，從而得到變化率——導數.英國大主教貝克萊指責牛頓：無窮小增量既可做分母就不應該是零，包含它的項就不該去掉；如果可以認為是零，那它就不應該作分母進行除法.貝克萊的指責是一針見血的.

微積分創建之后兩個世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，柯西把無窮小視為以“0”為極限的變量，雖然澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識，但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，沒有達到徹底嚴密化的程度.

有了極限的精確定義，外加實數理論，微積分就有了嚴格的理論基礎，從而導數、定積分、級數等這些“無限”范疇的學習就順理成章了.

四、極限思想的功效

極限的思想方法揭示了量變與質變、有限與無限、近似與精確的對立統一.借助極限思想，我們可以從有限認識無限，從量變認識質變，從近似認識精確.

（一）有限無限

有限使人感覺具體，無限使人充滿想象，人們要對無限多一份理性的思考.有限與無限既有區別又有聯系.前述的希爾伯特旅館在有限做不到的事情在無限做到了，這就是有限無限的本質區別.而人們習慣于有窮下的思維，所以說與無限打交道要格外小心.

有限無限又是相互聯系的.數學歸納法證明的是對所有自然數都成立的命題，而自然數有無限個，數學歸納法表達的是無限的推理過程，而它的證明步驟只有兩步（有限），通過有限步完成一個涉及無限多個對象的證明.極限是無限的過程，最終得到的往往是一個有限的數.數學家通過有限的方法描寫極限的無限過程，如前述的維爾斯特拉斯的極限定義.芝諾悖論之阿基里斯與烏龜，表面上看起來阿基里斯要想追上烏龜需要跑無窮段路程，感覺永遠追不上，實際上這無窮段路程的和卻是有限的.

（二）量變質變

量變引起質變是辯證法的基本規律.對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍后，得到的還是內接正多邊形，是量變；但是不斷讓邊數加倍，經過無限過程之后，多邊形就變成了“圓”，多邊形面積便轉化為圓面積，是質變.

（三）近似精確

近似與精確是對立統一的，兩者在一定條件下可相互轉化.圓內接正多邊形面積是圓面積的近似值；阿基里斯追烏龜的部分和，是近似值，取極限后就得到相應的精確值.

無論是初等數學還是高等數學，也無論是學習還是教學，我們都要對無限清晰地理解和認識，才能教學有方，學有所獲.

【參考文獻】

[1]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李文林.數學史概論[M].第3版.北京：高等教育出版社，2011.