“常微分方程”課程教學中大學生實踐創新能力培養研究

武力兵　何希勤　郭良棟　屠良平

摘 要 針對“常微分方程”課程教學中存在的問題，在教學實踐基礎上，通過調整教學內容，改變教學方法，改革考試方式等措施，培養大學生實踐創新能力，提高教學質量。

關鍵詞 “常微分方程”課程 教學改革 實踐創新能力

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.01.060

Research on Cultivating the Innovative Abilities of College Students in the Teaching of the Course of “Ordinary Differential Equations”

WU Libing， HE Xiqin， GUO Liangdong TU Liangping

（School of Science， University of Science and Technology，Anshan， Liaoning 114051）

Abstract For the problems in the teaching of the course of “Ordinary Differential Equations”， by adjusting the teaching content， the teaching methods， and the measures such as the reform of examination methods， it aims to cultivate the innovative abilities of college students and to improve the quality of teaching based on the practice of teaching.

Keywords course of “Ordinary Differential Equations”； teaching reform； practical and innovative ability

“常微分方程”是高校本科數學類專業的核心基礎課程之一，同時也是工科類專業高等數學中的重要學習內容，是一門應用性很強的學科。作為一門具有很強應用特色的基礎課程，“常微分方程”的教學中應該突出應用特色，重點培養學生的創新性思維，利用所學知識發現、分析和解決實際問題的能力。然而，部分高校現有的教學內容和課程體系強調的卻是應試作用，忽視了這門課程的實際應用作用，導致培養學生以微分方程思想解決實際問題的目標難以實現。因此，突出“常微分方程”課程實踐創新能力培養的教學改革是非常必要的，既能擴展學生知識面并提高實踐創新能力，又能有效提高教學質量。

1 課程教學現狀與不足

（1）教學內容 “重理論，輕應用”。教學中理論教學偏多，缺少教學案例等與實際聯系緊密的內容，數學建模思想以及學科前沿知識沒有在教學中充分滲透。課堂教學上往往呈現“老師在上面講，學生在下面記”的情形，這樣的教學完全忽視了學生學習的積極性，扼殺了學生的創新意識和創新能力。此外，經調研發現，由于部分微分方程求解方法以及定性分析等內容沒有體現在授課內容里，導致部分專業與后續課程有脫節現象，許多有重要應用價值的、不同專業急需的內容，不是被刪掉，就是降低了要求。

（2）授課方式單一，靈活性不夠。在課堂教學中，學生處于被動地位，被當作知識灌輸的對象。教學手段單一，主要采用傳統的一支粉筆、一塊黑板版書，計算機、多媒體輔助教學只是用來播放教師教學內容的課件，忽略了課堂教學應以學生為中心，應該積極主動地與授課教師一起參與到課堂互動中。另外，課堂教學也面臨著學時減少與教學內容不變的矛盾。教學內容的處理不合理，有些定理的證明過程往往是很重要的，但是由于時間關系，教師往往會略去一些復雜的證明，導致學生的掌握一知半解。

（3）考核方式單一，缺乏綜合性。考核內容的重點還是一張期末考卷定成績，總成績計算的一般做法是，期末卷面成績占80%，顯然這是公平的，但由于學生的主觀能動性不夠以及學習興趣偏向應用，從而導致很多人卷面成績偏低；總成績中另外的20%，往往是從出勤、作業完成等情況來考核。而事實是，出勤的未必能聽進去、聽得懂；有的作業雖然完成了，但很難把握是否是真正意義上自己獨立完成的，學生實踐和創新能力在以試卷考試為主的傳統考試中根本得不到體現。因此，如果繼續這種考試考核方式，很難進一步提升學生的數學素養。于是，改變這種現狀就顯得越來越迫切了。

2 “常微分方程”課程改革策略

2.1 調整教學內容，側重實際應用

大學本科教育的目標是培養學生理論聯系實際，解決實際問題能力。常微分方程是一門數學基礎課程，內容涉及數學分析，高等代數課程中的知識點。另外，天文學、生物學、控制論、物理學、流體力學等許多近代學科中大量問題都可以利用微分方程來分析和處理。例如三大數學巨匠之一牛頓（Newton）就是利用常微分方程這個有力的數學工具計算出行星繞恒星的運行方式為橢圓形軌道。在現代控制理論中，機器人、倒立擺、飛行器等實際系統在建模的時候都可以歸結成帶有控制輸入的微分系統，通過設計合理的控制器，保證閉環系統穩定運行。相應地，微分系統的求解或定性分析過程，必須借助常微分方程中的基本理論和方法來實現。因此，在授課過程中盡可能多地反映常微分方程在其它學科的滲透與應用，以實際問題作為出發點和著眼點，盡可能減少枯燥繁瑣不必要的理論推導，鼓勵學生多參加與方程課程相關的實踐活動，既培養了學生分析和解決實際問題的能力，同時也激發了學生對這門課程的學習興趣。

在教學中適當刪減理論性偏強，過程煩瑣的定理證明，多增加應用性的例題和題目，以案例的形式引入相關知識點，將數學建模思想融入教學過程。例如SIR傳染病模型、機械振動中的Duffing 方程、單擺方程、天體力學中的二體問題、電磁振蕩中的Vander Pol 方程、生態學中的生物種群模型、數學擺的穩定性問題等這些實際應用型的例子應盡可能多的穿插在教學內容中，以增強背景感，提高學生的積極性和對這門課的興趣。比如通過Duffing 方程了解橋梁、發動機的振動對安全性的影響， 回顧牛頓定律的數學含義；通過單擺方程認識童年打秋千的道理，通過二體問題明白月亮為什么總是繞地球轉，重新體會能量守恒和動、勢能轉換的基本原理；通過Van der Pol 方程知道電力傳輸和通訊信號傳輸中數學的重要作用；通過生物種群模型學習人口預測對國民經濟計劃的重要性。這樣， 學生始終抱著明確的學習目的，為他們增添了學習動力。

2.2 改變教學方法，突出能力培養

傳統的教學要求及教學計劃都是以課堂抽象知識“灌輸”為主體，以課程期末考試“及格”為目標。若要真正提高學生應用微分方程解決實際問題能力，培養科技創新精神，就需要老師徹底更新教學內容的同時，將數學建模思想和科研創新思想融入課堂教學中。在微分方程的教學中，能夠利用初等解法求解微分方程的類型很少，大多數微分方程是不能用手工推導的方法給出初等解，這就非常有必要引導學生利用Mathematics、Matlab、Maple等現代計算機數學軟件去解較為復雜的微分方程及方程組等問題，來驗證一些微分方程的定性理論上求解方法，使學生在的理論水平和實踐能力都得到根本的提高。數學軟件的使用，能將學生從冗繁耗時的計算中解放出來，同時，數學軟件強大的數據分析、誤差分析及圖形化的顯示能極大地提高學生的學習興趣，提高學生的科學計算能力和動手能力。在課堂教學過程中，注意啟發式教學法的運用，用歸納分析和邏輯推理相結合的方法講解基本理論，用模擬科研法及探究問題方法講授基本方法，適當選一些教學內容采取自學指導教學，或采用課堂討論或布置課外提高題目等，通過這種形式讓學生積極主動地參與課堂教學當中，不僅調動了學生的學習積極性，而且也培養了學生分析問題、解決問題的創造思維能力。

2.3 改革考試方式，推動能力提升

改變傳統的期末試卷+平時成績的考核考試方式，為培養注重理論聯系實際，創新能力強的高素質應用型人才，實行下面新的科學合理的考核考試方式。總成績=⑴期末試卷成績€？0%+⑵平時小測驗（15分）+⑶課后作業（10分）+⑷課后提高（15分）+⑸課堂互動（5分）+⑹出勤率（5分）。其中課后提高和平時小測驗所占平時成績比重較大，也是考試改革的重要舉措，具體實施方案如下：課后提高要求在每章的學習過程中，適當找出一些微分方程中具有拓展和創新點的問題留給學生，其目的是提高學生查閱資料和文獻能力，培養科研與創新精神，利用現代計算機數學軟件去解微分方程及方程組等方面的知識，引導是學生通過學習Matlab等計算機數學軟件來驗證一些微分方程的理論上的求解方法。最終以小論文形式提交，依據論文理論證明的正確性和數學實驗部分的完整性來給予這部分成績。平時小測驗分別就一階常微分方程的初等解法、高階常微分方程的求解以及常微分方程的一般理論與定性分析進行測驗，根據學生的掌握這部分知識點的程度來給予這部分成績。

常微分方程”課程教學模式改革的一個重要方面就是如何充實其內容，進行合理的教材處理，引導學生開展學習研究，培養創造能力和創新能力。本文將教學內容、教學方法、考試方式各環節有機結合，形成一套新的教學體系，從而對學生開展研究型學習，培養學生的理論聯系實際以及實踐創新能力起到積極的推動作用，有效提高了教學質量。

基金項目：遼寧省普通高等教育本科教學改革研究項目：用數學思維方法培養學生創新思維品質的研究與實踐——以《常微分方程》課程內容及教學模式改革為例

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