基于連續函數性質在積分計算中應用的研究

李 偉

(集美大學理學院, 福建廈門 361021)

基于連續函數性質在積分計算中應用的研究

李 偉

(集美大學理學院, 福建廈門 361021)

對于Riemann積分的計算，高等數學教材中歸納出了奇、偶函數在對稱區間上的兩個運算性質．本文在此基礎上，推出對稱區間[-a，a]上任意連續函數的積分性質，以及任意區間[a，b]上連續函數積分的幾個性質，并應用這些性質求解有關連續函數的Riemann積分問題．

連續函數；Riemann積分；對稱區間；任意區間

1 預備知識

定義1[1]設函數f(x)在點x0的某鄰域內有定義，若

則稱函數f(x)在點x0連續．

定義2[2]若函數f(x)在區間(a,b)內每一點都連續，則稱函數f(x)是(a,b)內的連續函數；若函數f(x)在區間(a,b)內連續，又在區間端點a處右連續，在b處左連續，則稱函數f(x)是閉區間[a,b]上的連續函數．

定義3[3]若函數f(x)在[-a,a]上連續且為奇函數，則

∫-aaf(x)dx=0

定義4[3]若函數f(x)在[-a,a]上連續且為偶函數，則

∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx

2 推廣的性質的證明及應用

性質1 若函數f(x)在閉區間[-a,a]上連續，則

∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx

=∫a0f(-u)(-du)dx

=∫0af(-u)du

=∫0af(-x)dx，

所以 ∫-aaf(x)dx=∫-a0f(x)dx+∫0af(x)dx=∫0af(-x)dx+∫0af(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx．

在對稱區間上非奇、非偶的連續函數的定積分計算，運用性質1能收到好的效果．

其中

因此

由定義3、定義4及性質1，可將對稱區間上連續函數定積分的計算，歸納為如下性質.

若函數f(x)在閉區間[-a,a]上連續，則

∫-aaf(x)dx=

性質2[4-5]若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則

∫abf(x)dx=

證明 令u=a+b-x，則

∫abf(x)dx=∫baf(a+b-u)d(-u) =∫abf(a+b-x)dx，

所以有

又因為

在上面后式中令u=a+b-x，則有

所以有

∫abf(x)dx=

于是性質2得證．

因為

所以由性質2的結論(1)有

性質3[6]若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且 f(x)=f(a+b-x)，則

令

因為

F(x)=-F(a+b-x)

由性質2結論(1)，所以有

亦即

例3 計算 ∫02πxcos2xdx．

解 令 f(x)=cos2x．

因為

f(x)=f(2π-x)，

所以由性質3有

3 結語

對于連續函數在對稱區間或任意區間上的Riemann積分的計……