脈沖微分方程Neumann 邊值問題多解的存在性

周君君

(信陽學院數學與信息學院， 河南信陽 464000)

脈沖微分方程Neumann 邊值問題多解的存在性

周君君

(信陽學院數學與信息學院， 河南信陽 464000)

本文通過變分法和臨界點理論討論了脈沖微分方程Neumann邊值問題無窮多個解的存在性．

脈沖微分方程；Neumann邊值條件；變分法；臨界點理論

0 引言

脈沖微分方程普通存在于自然界中， 能夠充分考慮時突對狀態的影響， 能更精準反應事物的變化規律.對脈沖微分方程的研究方法主要有不動點定理、上下解結合單調迭代技巧、拓撲度理論和變分法[1， 3-6]， 在文獻[4]中， 作者研究了如下的脈沖微分方程Neumann 邊值.

(1)

這里0=t0

作者利用變分法研究了非線性項g為超線性時， 系統解多解的存在性．受相關文獻的啟發， 本文考慮了非線性項g為漸進線性的情形， 得到了不同于文獻[4]的結果.

1 準備工作

設L(t)=∫0t(r(s)/p(s))ds， 則e-L(t)∈C1([0,1]).我們可將問題(1)轉化為其等價形式：

(2)

顯然(2)的解就是(1)的解.

定義空間X=W1,2([0,1])， 定義范數

定義泛函

(3)

顯然φ∈C1(W1,2([0,1]),R)， 且

(4)

對于任意的u,v∈W1,2([0,1]).

定義 設E是一個自反的Banach空間， 且φ∈C1(E,R).若對于任意的{φ(uk)}有界且φ′(uk)→0(k→∞)的序列{uk}?E都有一個收斂子列.我們稱φ滿足Palais-Smale條件(簡記為P.S.條件).

定理1[2]E是一個有限維的實Banach空間，f∶E→R是一個連續可微的偶泛函， 并且它是滿足P.S.條件， 且下面的條件成立:

(A2) 對于E中的任意的有限維子空間， 集合V∩f(0)是有界的，

則f有無窮多個臨界點.

引理1[4]若u∈X是泛函φ的一個臨界點， 則u是問題(2)的一個古典解.

引理2[4]若u∈W1,2([0,1])， 則存在常數C>0， 使得‖u‖∞≤C‖u‖.

2 主要結果及證明

(H1) 對于任意的k=1,2,...,m-1， Ik是奇函數， 且滿足∫0sIk(t)dt≤0,?s∈R.

(H2) 存在常數ak,bk>0， (k=1,2,...,m-1)和rk∈[0,1)使得 |Ik(s)|≤ak+bk|s|rk，?s∈R.

定理2 假設系統(2)滿足(H……