基于中心流形的三維多項式微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性

許佰雁, 陳景蓮

(1.長春光華學(xué)院基礎(chǔ)部, 吉林長春 130033； 2.海爾集團電子商務(wù)有限公司, 山東青島 266000)

基于中心流形的三維多項式微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性

許佰雁1, 陳景蓮2

(1.長春光華學(xué)院基礎(chǔ)部, 吉林長春 130033； 2.海爾集團電子商務(wù)有限公司, 山東青島 266000)

1963年，Sherman構(gòu)造了三維多項式微分系統(tǒng)，并給出了周期解的存在性和穩(wěn)定性條件．1989年，李德明等人用Liapunov-Schmidtreduction方法給出了此系統(tǒng)Hopf分支后周期解的存在性條件．本文將利用中心流形研究此系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性．

三維多項式微分系統(tǒng)；極限環(huán)；存在性；穩(wěn)定性；中心流形

1 預(yù)備知識

定義1 (極限點)稱點P∈E?n是系統(tǒng)

(1.1)

定義2 (極限環(huán))系統(tǒng)(1.1)的閉軌線稱為平面系統(tǒng)的極限環(huán)[1]， 它是系統(tǒng)(1.1)除了Γ以外的某些軌線的α-極限集或ω-極限集.

定義3 (穩(wěn)定和不穩(wěn)定極限環(huán))如果閉軌線Γ是Γ的某個鄰域內(nèi)的每一條軌線的ω-極限集， 則Γ稱為一個ω-極限環(huán)或穩(wěn)定極限環(huán)[1]； 如果閉軌線Γ是Γ的某個鄰域內(nèi)的每一條軌線的α-極限集， 則Γ稱為一個α-極限環(huán)或不穩(wěn)定極限環(huán).

定義4 (中心流形)如果Y=h(X)是系統(tǒng)

(1.2)

的不變(局部不變)流形， 且h是光滑的， 使得h(0)=0,Dh(0)=0, 則稱Mc={(X,Y)|Y=h(X)}是系統(tǒng)(1.2)的中心流形(局部中心流形)[2].

定義5 (焦點)對于系統(tǒng)

(1.3)

記p=-trA=-(a+d),q=detA=ad-bc. 當(dāng)q>0且0

定義6 (平衡點)對于二維自治系統(tǒng)

(1.4)

若點(x0,y0)， 使P(x0,y0)=0,Q(x0,y0)=0， 則稱(x0,y0)為自治系統(tǒng)的平衡點[2].

定義7 (穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡點)設(shè)(x0,y0)是自治系統(tǒng)(1.4)的平衡點， 如果對(x0,y0)的任一領(lǐng)域U， 存在(x0,y0)的一個屬于U的領(lǐng)域U1， 使自治系統(tǒng)的每一條軌線(x(t),y(t))， 若有(x(0),y(0))∈U1， 則對一切t>0， 有(x(t),y(t))∈U， 就稱平衡點(x0,y0)是穩(wěn)定的， 否則就稱為不穩(wěn)定的[2].

定理1 (三維的……