非線性多比例延遲微分方程的穩定性分析

張 如， 劉小剛， 唐賢芳

(1. 西北工業大學明德學院，陜西西安 710124； 2. 西北大學現代學院，陜西西安 710124)

非線性多比例延遲微分方程的穩定性分析

張 如1， 劉小剛2， 唐賢芳1

(1. 西北工業大學明德學院，陜西西安 710124； 2. 西北大學現代學院，陜西西安 710124)

本文應用單支q1，q2，…，ql∈(0，1)-方法和線性0

單支q1，q2，…，ql∈(0，1)-方法；線性0

1 預備知識

非線性多比例時滯微分方程

(1)

其中q1, q2, …, ql∈(0, 1)，并且0

這里適當地選取函數f與初始條件，使得這個非線性系統的解析解u(t)存在并且唯一.

引入微分方程

(2)

其中q1, q2, …, ql∈(0, 1)，并且0

解析解z(t)存在并且唯一.

定義1 對于非線性多比例時滯微分方程(1)和(2)，如果離散的數值解un和zn能夠滿足條件

定理1 如果對任意的t≥0，非線性多比例時滯微分方程(1)都滿足β1+β2+…+βl≤-α

其中

(3)

(4)

?

(5)

并且對?x∈Cd，存在Cd上的內積，使原文為‖x‖2=[x,x]，那么這個非線性多比例時滯微分方程(1)是穩定的.

2 單支θ-方法的穩定性分析

可見Hk呈現指數遞增趨勢，再將Hk分成等步長的m份，令

為了簡化，假設t0=T0=1，并令t-(m+1)=0，t-i=q1tm-i, (i=m,m-1, …, 1), 有

(6)

(7)

又因為0

由上式可見δi與m, n無關，并令γi=1-δi, i=1, 2, …, l

用變步長單支θ-方法求解非線性多比例時滯微分方程(1)和(2)， 可以得到差分方程：

un+1=un+hn+1f [(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)un+θun+1, uh(q1((1-θ)tn+θtn+1)),uh(q2((1-θ)tn+

θtn+1)), …, uh(ql((1-θ)tn+θtn+1))]

(8)

zn+1=zn+hn+1f[(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)zn+θzn+1, zh(q1((1-θ)tn+θtn+1)), zh(q2((1-θ)tn+

θtn+1)), …, zh(ql((1-θ)tn+θtn+1))]

(9)

uh(qitn)=δiun-sim+(1-δi)un-(si+1)m

uh(qi(1-θ)tn+qiθtn+1))=δi[(1-θ)un-sim+θun+1-sim]+(1-δi)[(1-θ)un-(si+1)m+θun+1-(si+1)m]

uh(q1tn)=un-m,uh(q1tn+1)=un-m+1

再用具有變步長格式的單支θ-方法(8)和(9)求解非線性多比例時滯微分方程(1)和(2)， 可以得到差分方程

un+1=un+hn+1f[(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)un+θun+1, (1-θ)un-m+θun+1-m,δ2((1-θ)un-s2m+θun+1-s2m)+(1-δ2)((1-θ)un-(s2+1)m+θun+1-(s2+1)m), …,δl((1-θ)un-slm+θun+1-slm)+(1-δl)((1-θ)un-(sl+1)m+θun+1-(sl+1)m)]

(10)

zn+1=zn+hn+1f[(1-θ)tn+θtn+1, (1-θ)zn+θzn+1, (1-θ)zn-m+θzn+1-m,δ2((1-θ)zn-s2m+

θzn+1-s2m)+(1-δ2)((1-θ)zn-(s2+1)m+θzn+1-(s2+1)m), …,δl((1-θ)zn-slm+θzn+1-slm)+(1-δl)((1-θ)zn-(sl+1)m+θzn+1-(sl+1)m)]

(11)

‖ωn+1‖2≤‖ωn‖2+2Re<σ(E)ωn,ρ(E)ωn>

其中ωn=yn-zn，ρ(ξ)=ξ-1，σ(ξ)=θξ+(1-θ)，ξ∈C， (Eωn=ωn+1,Eun=un+1).

定理2 如果變步長格式滿足(6)、(7)，那么有

證明 由差分方程(10)和(11)，將兩式子做差可以得到

ρ(E)ωn=hn+1[f(σ(E)tn,σ(E)un,σ(E)un-m,δ2σ(E)un-s2m+(1-δ2)σ(E)un-(s2+1)m, …,δlσ(E)un-slm+(1-δl)σ(E)un-(sl+1)m)-f(σ(E)tn,σ(E)zn,σ(E)zn-m,δ2σ(E)zn-s2m+(1-δ2)σ(E)zn-(s2+1)m, …,δlσ(E)zn-slm+(1-δl)σ(E)zn-(sl+1)m)]

2Re<σ(E)ωn,ρ(E)ωn>≤2hn+1α‖σ(E)ωn‖2+hn+1(β1+β2+…+βl)‖σ(E)ωn‖2+hn+1β1‖σ(E)ωn-m‖2)+hn+1β2max{‖σ(E)ωn-(s2+1)m‖2, ‖σ(E)ωn-s2m‖2}+…+

hn+1βlmax{‖σ(E)ωn-(sl+1)m‖2, ‖σ(E)ωn-slm‖2}

由定理2，通過迭代分析可得

‖σ(E)ωi-slm‖2}

再由引理1可知

可知微分方程(1)的單支θ-方法是穩定的.

3 線性θ-方法的漸近穩定性分析

繼續使用半幾何步長格式，非線性多比例時滯微分方程(1)和(2)滿足條件(3)～(5).

對于非線性多比例……