基于TACKF的海面目標航向航速估計算法

程然， 何科峰， 繆禮鋒

(中國航空工業集團公司雷華電子技術研究所， 江蘇無錫 214063)

0 引言

航向航速是海面目標的重要特征，能準確估計出航向航速對于海面目標的跟蹤、識別和打擊具有非常重要的意義。由于海面目標跟蹤中易出現量測高精度、系統復雜強非線性等情況，導致傳統非線性濾波器對海面目標航向航速的估計精度不高[1]。此外，海面運動目標自身速度較慢，濾波器的穩態波動對海面目標的航速估計影響較大，精度難以保證。針對以上問題，為了改善復雜環境下目標跟蹤的性能，對海面目標航向航速精確估計算法的研究迫在眉睫。

近年來，國內對海面目標航向航速估計算法開展了廣泛的研究。文獻[2]針對海面目標航向航速估計的物理概念、真值的獲取及考核方法作了初步的研究和介紹，但并沒有考慮復雜情況下提高海面目標航向航速估計精度的具體途徑。文獻[3]推導出了雷達載體在高速運動條件下海面目標跟蹤的濾波方程，并利用雷達載體的GPS信息和目標的測量信息實現了對目標航向航速的高精度解算。然而這種方法僅在海面目標作勻速直線運動時估計精度才較高，當目標發生機動(如協同轉彎)時，所建目標的運動學模型與目標的實際運動模式不匹配，導致濾波器發散，最終造成目標的跟蹤丟失。鑒于以上問題和不足，本文緊密結合工程應用背景，針對海面目標跟蹤中易出現的量測高精度、系統復雜強非線性等問題，提出了一種基于截斷的自適應容積卡爾曼濾波算法(TACKF)的海面目標航向航速估計算法。

首先，本文簡要介紹了非線性高斯濾波器(GF)的基本原理，分析了GF在量測更新階段所存在的主要問題。其次，本文簡要闡述了截斷卡爾曼濾波器(TKF)的基本原理，并引入了一種自適應調節機制，將TKF與容積卡爾曼濾波器(CKF)通過一個自適應變化的參數有機地結合起來，從而推導得出截斷的自適應容積卡爾曼濾波器(TACKF)。最后，結合數值仿真及實驗數據將本文所提出的濾波算法應用到海面目標的航向航速估計中，數據仿真結果證明了該算法的有效性。

1 GF算法結構

考慮如下形式的狀態空間離散非線性系統：

(1)

式中，xk∈Rnx表示k時刻系統狀態向量(nx為狀態維數)，zk∈Rnz表示k時刻外部量測向量(nz為狀態維數)，f(·)表示狀態轉移函數，h(·)表示量測函數，wk-1與vk分別表示系統噪聲和量測噪聲，二者互不相關且均為零均值高斯白噪聲，即wk-1～N(0,Qk-1)，vk～N(0,Rk)。依據線性最小方差準則，GF的一般結構[4]為

(2)

式中，

(3)

式中，Zk-1表示直到k-1時刻所有的量測信息。從上述GF的一般結構可知，GF可分為兩個部分，即時間更新和量測更新。GF的估計精度主要取決于對系統狀態均值和協方差的計算精度。傳統GF對式(3)通常采用近似的方法獲得，例如無跡卡爾曼濾波器(UKF)采用Unscented變換的近似方法[5]；容積卡爾曼濾波器(CKF)采用容積變換的近似方法[6]，不同的近似方法會得到不同的估計精度。

2 TKF算法概要

2.1 GF量測更新階段分析

(4)

(5)

GF中，狀態與量測近似的條件聯合概率密度函數[7]為

(6)

(7)

(8)

為了表示近似的條件聯合概率密度函數與真實的條件聯合概率密度函數的偏差程度，文獻[7]給出了一種計算KLD偏差參數的表示方法，并以此來表征GF的估計精度。KLD參數值越小，表明GF對狀態真實后驗概率密度函數的逼近程度越高。KLD參數本質上是一個近似化的指標參數，它是建立在對非線性量測函數一階線性化基礎之上的，具體表達式[7]為

(9)

(10)

(11)

(12)

對EKF來說，由于它只對量測函數進行一階泰勒展開并忽略所有高階矩信息，因此EKF的KLD參數表達式[7]整理為

(13)

(14)

從EKF的KLD表達式中可以看出，EKF的估計精度主要取決于3個因素，即量測噪聲方差、系統狀態的先驗協方差及量測函數。對于確定的系統狀態先驗分布及量測函數，當量測噪聲方差減小時，EKF的KLD參數升高，此時EKF對系統狀態真實的后驗概率密度函數逼近精度變差。而當量測噪聲方差和量測函數一定，隨著系統狀態的先驗不確定性逐漸加強，即系統狀態的先驗協方差逐漸增大，同樣會使KLD參數升高，系統狀態的估計精度下降。

對于UKF，CKF等利用確定性采樣策略的傳統GF而言，由于考慮了系統狀態的高階矩信息，因此在精度上要優于EKF。它們的KLD表達式本質上是一樣的，唯一區別就是采樣點的選取方式不同。因此，這類GF對系統狀態真實后驗概率密度函數的近似精度同樣受到量測噪聲方差、狀態先驗協方差及非線性量測函數的影響，分析過程同EKF相似，不再贅述。

2.2 TKF原理分析

通過前面的分析可以得出這樣一個結論，即在量測高精度、系統復雜強非線性的情況下傳統GF對系統狀態后驗概率密度函數的近似精度不是很高。為了解決這一問題，文獻[8]提出了一種截斷的卡爾曼濾波器(TKF)。TKF的濾波結構框架與傳統GF大體相同，唯一的區別在于TKF在時間更新階段對系統狀態的先驗分布進行了截斷處理，因此本節只分析TKF在時間更新階段的濾波原理。

與之前的分析有所不同，假設此時的量測是高精度的，也就是說量測噪聲的方差足夠小，那么我們認為以下的近似是合理的，即將服從高斯分布的量測噪聲近似為服從均勻分布，且近似后的量測噪聲均值和方差保持不變[8]。因為量測噪聲方差足夠小，這就意味著近似為均勻分布后的量測噪聲被限制在一個很小的區域內，因此我們認為此時系統狀態的先驗概率密度函數在其相應的定義域內可以近似為一個常數[8]。

(15)

(16)

整理，得

(17)

似然概率密度函數表示為

p(zk|xk)=pvk(zk-h(xk))Ix(xk)

(18)

(19)

式中，Ix表示截斷的區域：

(20)

根據貝葉斯準則，系統狀態的后驗概率密度函數可表示為

p(xk|Zk)∝p(zk|xk)p0(xk|Zk-1)=

pvk(zk-h(xk))Ix(xk)p0(xk|Zk-1) (21)

式(21)可以看作是系統狀態的先驗概率密度函數被“截斷”了，故截斷的系統狀態先驗概率密度函數可表示為

(22)

式中，p1(·)表示截斷的系統狀態先驗概率密度函數，ε表示歸一化常數，表示為

(23)

將式(17)代入式(23)，得

(24)

整理，得

式中，|Iv|表示近似成均勻分布的量測噪聲統計分布區域的面積。則截斷的先驗均值為

(26)

將式(17)代入式(26)整理，得

因為量測噪聲的均值沒變，即

(28)

將式(28)代入式(27)整理，得

(29)

截斷的系統狀態先驗協方差為

(30)

將式(17)代入式(30)，得

(31)

整理，得

(32)

從式(32)可以看出，在TKF的時間更新階段，系統狀態的先驗協方差與量測噪聲的方差建立起了聯系。根據前面介紹的KLD參數理論，當系統狀態的先驗協方差隨量測噪聲方差作相同趨勢的變化時，會抵消KLD參數的整體變化，從而使得濾波器對系統狀態真實的后驗概率密度函數的逼近程度不會受到外部高精度量測的顯著影響。同時，文獻[7]還指出，當系統狀態的先驗協方差減小時會減輕外部量測非線性對GF量測更新階段的影響。對系統狀態的先驗概率密度函數進行截斷處理，相當于增加對系統狀態先驗估計的置信程度，降低了系統狀態的先驗不確定性，從而使整個濾波器的估計性能得到進一步提升。

3 TACKF算法推導

本節將引入一種自適應調整機制，將TKF與某種GF通過一個自適應變化的參數相結合，使其能夠根據外部量測信息的變化動態地調整二者相對權值的大小，從整體上提高濾波性能。由于CKF具有算法實現簡單、濾波精度高、收斂性好等優點，且具有更高的數值穩定性[6]，因此本節擬采用TKF與CKF有機相結合的方法得到TACKF算法。

3.1 TKF與CKF自適應調整機制

(33)

式中，α∈[0,1]是一個自適應變化的參數。

從前面對GF量測更新階段的分析中可知：當外部量測噪聲方差和量測函數一定時，隨著系統狀態先驗協方差的逐漸增大(系統狀態的先驗不確定性逐漸增強)，GF的KLD參數會逐漸升高，從而導致系統狀態的估計精度下降。同時文獻[8]指出，當外部量測信息較為豐富時，TKF相比于傳統GF能夠發揮更好的濾波性能。而當外部量測信息相對匱乏時，TKF的優勢則被削弱，傳統GF的濾波性能得到改善。

基于這兩個結論可以看出：當外部量測信息較為豐富時，TKF系統狀態的先驗不確定性比CKF的弱，TKF相比于CKF能夠發揮更好的濾波性能；相反，當外部量測信息相對匱乏時，TKF中系統狀態的先驗不確定性比CKF的強，TKF的優勢被削弱，CKF的濾波性能得到改善。故可以將自適應變化參數α的選取與系統狀態的先驗協方差建立起一種關系，從而更加明確α的取值：

(34)

式中，γ是一個用戶設定的預調整參數，它可以預先調整系統狀態先驗協方差矩陣跡的相對權重大小來改善參數α的自適應調整。從式(34)可以看到，當γ取值減小時，說明截斷的系統狀態先驗概率密度函數的相對權重被逐漸削弱；反之當γ取值增大時，則說明要對截斷的系統狀態先驗概率密度函數的相對權重逐漸加強。

當γ取值一定時，隨著外部量測信息逐漸變得豐富，TKF系統狀態的先驗不確定性逐漸降低，自適應變化參數α逐漸趨于1，此時TKF發揮主要作用，當α=1時濾波器則轉化為純粹的TKF；相反，隨著外部量測信息逐漸變得匱乏，TKF系統狀態的先驗不確定性逐漸升高，自適應變化參數α逐漸趨于0，此時CKF發揮主要作用，當α=0時濾波器則完全退化為CKF。故TKF與CKF的這種自適應調整機制能夠更好地適應外部量測信息的變化，從整體上提高濾波器的濾波性能。

3.2 TACKF濾波算法

與傳統GF的濾波結構相同，TACKF也是由時間更新和量測更新兩部分組成，具體實施步驟如下。

1) 時間更新

通過Cholesky分解狀態的協方差矩陣Pk-1|k-1：

(35)

根據Spherical-Radial Cubature準則計算容積點：

(36)

(37)

通過狀態方程傳播容積點：

(38)

計算CKF中系統狀態的先驗均值及協方差矩陣：

(39)

計算TKF中系統狀態的先驗均值及協方差矩陣：

(40)

2) 量測更新

通過Cholesky分解Ph,k|k-1(h∈{0,1})：

(41)

根據Spherical-Radial Cubature準則計算容積點：

(42)

通過量測方程傳播容積點：

Zh,i,k|k-1=h(Xh,i,k|k-1)

(43)

計算量測的先驗均值及自相關先驗協方差矩陣：

(44)

計算互相關協方差矩陣：

(45)

分別計算CKF和TKF的卡爾曼濾波增益：

(46)

分別計算CKF和TKF狀態的后驗均值及協方差：

(47)

計算系統狀態最終的后驗均值及協方差矩陣：

(48)

(49)

4 仿真與分析

4.1 數值仿真驗證

(50)

式中，ω表示海面目標轉彎角速率，T表示機載雷達采樣周期，wk-1表示高斯系統噪聲。系統噪聲方差矩陣Qk-1為

(51)

量測方程表示為

從數值仿真結果中可以看出，當海面目標作協同轉彎運動時，TACKF對目標航向航速的估計精度要明顯高于CKF及UKF。而當海面目標作勻速直線運動時，3個濾波器對目標航向航速的估計精度相當。證明了在量測高精度、系統復雜強非線性的條件下TACKF能夠更有效地逼近系統狀態的后驗概率密度函數，從而有效提高了海面目標航向航速的估計精度。

圖1 海面目標運動軌跡

圖2 各濾波器對海面目標航速估計的RMSE曲線

圖3 各濾波器對海面目標航向估計的RMSE曲線

輸出參數算法分類TACAFUKFCKF航速RMSE/(m·s-1)航向RMSE/(°)2.4312.823.2921.023.0719.05

表2 勻速運動段目標航向航速估計精度統計

4.1 實驗數據驗證

結合實驗數據將本文所提出的濾波算法應用到對海面目標航向航速的離線估計中，分別給出在不同時間統計區間內各濾波器的圖像對比分析和數據精度分析，結果如表3、圖4、圖5所示。

結合實驗數據的仿真結果可以看出，相比于EKF，本文所提出的TACKF算法能夠發揮更好的濾波性能，具有更高的濾波精度，更適于應用到海面運動目標的航向航速估計中。

5 結束語

本文緊密結合工程應用背景，針對海面目標跟蹤中易出現的量測高精度、系統復雜強非線性等問題，提出了一種基于截斷的自適應容積卡爾曼濾波算法(TACKF)的海面目標航向航速估計算法。通過引入一種自適應調整機制，將TKF與CKF有機地結合起來，使其能夠根據外部量測信息的變化動態地調整二者相對權值的大小，有效改善了濾波器的估計性能。結合實驗數據將本論文所提出的濾波算法應用到對海面目標航向航速的離線估計中，分別給出在不同時間統計區間和內各濾波器的圖像對比分析數據精度分析。仿真結果表明，本論文所提出的濾波算法較傳統的非線性濾波算法有顯著的性能提升，可以有效提高復雜環境下海面目標航向航速的估計精度。

表3 海面目標航向航速估計數據精度統計

圖4 各濾波器對海面目標航向角的估計結果

圖5 各濾波器對海面目標航速的估計結果

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