問題轉接模式下的數學課堂教學初探

劉利國

[摘 要] 問題轉接模式是20世紀美籍匈牙利數學家馮諾依曼在著名摩爾理論提出之前進行的有效研究，其提出了教學需要從問題入手，以解決問題后進行的問題轉接進一步思考研究，這對于數學教學有了重要的方向指導.

[關鍵詞] 問題；數學；課堂教學；轉接；模式

眾所周知，問題是數學的核心. 學數學的主要目的是解決數學理論問題和生活中的實際問題.我們知道，愛因斯坦說過一句很經典的話：提出問題往往比解決問題來得更為重要.正是基于這樣的不同思路，數學家馮諾依曼對問題模式研究提出了新的見解：當我們解決了問題后，是不是有足夠的思考提出轉接型的相關問題？這種相關轉接型的問題設計、思考、實踐、反思，對于數學教學來說顯得更有價值. 作為一線教師，筆者深深地思考了問題轉接模式能否與中學數學課堂教學進行緊密聯系？這需要從問題轉接模式的特點出發：

第一，延續性. 問題轉接模式是一種知識承上啟下程度的教學模式，以問題為起點，以解決問題后的思考為后續起點，思考問題背后的、可進一步挖掘的相關知識；

第二，創新性. 問題轉接模式提供了知識后續的思考，將問題解決的后續給出了更多自由的思考，這種思考可以是進一步深度上的挖深，也可以是數學相關問題廣度上的延伸，甚至進一步可以讓學生提出更為創新的問題，有助于學生思維的發展；

第三，開拓性. 問題轉接模式在中學數學教學實踐中是使用頻率較低的教學模式，究其原因是其本身理論的認知度較低，開發也不夠完善，但是其有用的部分對于中學數學教學而言是一種全新思路的指引，對于教師而言又必須對自身有更高的專業性知識的訴求，成為開拓教師專業化成長的一個重要的新視角.

問題轉接延續性探索

數學教學必須依賴問題，往往較好的問題很值得教師教學繼續挖掘. 這種挖掘既有問題自身值得挖掘的因素，也需要教師有敏銳的觀察眼光，將問題順利的通過轉變、思考、再探索、再思考進行延續性的實踐與探索.

說明：從案例實踐來看，延續性是問題轉接模式最直接、最容易與教學實際進行聯系的重要性質，也是教師比較容易實施的第一層次教學. 如何思考這種問題轉接變化呢？從上述案例來看，教師引導下的問題轉接變換是首要任務，這里教師借助自身的專業素養，通過問題的變換讓學生感受類似知識不同解決以及不同問題類似解決. 問題轉接延續性在上述案例中最具亮點的體現是：其一是遵從學生認知心理學特點，問題從簡單入深，延續到學生認知最深刻的理性思維，體現課程教學層層遞進、螺旋上升、循序漸進的理念；其二與中國傳統變式教學緊密結合，給我們開發問題轉接模式教學提供了不少的素材，值得在延續性上進行更有效的開發.

問題轉接創新性實踐

學生的思維是千變萬化、多姿多彩的，其對于數學問題的認識并不像我們一樣僵化，而且不同學生對于同一問題的看法、思考都是不盡相同的，這正是教學每年都與眾不同的原因.基于這樣的原因，對于問題解決之后轉接的創新性就顯得無限可能.

問題2：直角三角形的兩直角邊都是（0，1）區間上的隨機數，試求斜邊長小于的概率.

解答1：設兩直角邊分別為x，y（0

解答2：設兩直角邊分別為x，y（0

問題轉接創新：不同的解法帶來了不同的結果，這究竟是什么原因？一一對應難道不等同于等可能？這些概率問題我們研究得少之又少. 那么我們順著教材中提出的概率問題最本質的驗證思路出發：用EXCEL數據模擬實驗來驗證正確性豈不更有意義？有興趣的讀者可以參與詳細步驟（參加《兩道幾何概型趣題》一文，數學通訊，2011，6，作者：沈恒，此處省略步驟），分別得到了明顯的等可能與否的散點圖（圖3）.

說明：從上述案例研究，我們發現教師按照常態解決了典型的概率問題，但是學生對于問題的思考卻是教師不曾思考的，為此教師引導下的問題轉接創新思考應運而生，給我們教學提供了新的處理和示范.

問題轉接開拓性思考

開拓性更多是針對教師自身專業化成長而言的，問題轉接的角度自然比學生理解的層面要更進一步. 筆者認為，要提出開拓性問題的思考需要教師首先選擇比較恰當的點，這樣的選擇材料有很多，比如教材后面有很多可開發的閱讀與思考、探索和實踐、信息和技術等，這些知識材料是源于教材高于教材的，教師可以從開拓性的角度提出問題的轉接，特別是從選修課程的角度實施是很有具體價值的，對于教學開拓性和教師發展是大有益處的.

問題3：《必修1》閱讀與思考：《集合中元素的個數》最后提出了一個思考：“有限集合中元素的個數，我們可以一一數出來，而對于元素個數無限的集合，如：A={1，2，3，4，…，n，…}，B={2，4， 6，8，…，2n，…}，我們無法數出集合中的元素個數，但可以比較這兩個集合的元素個數的多少. 你能設計一個比較這兩個集合中元素個數多少的方法嗎？”

分析：此處可以提出很多與學生剛剛所學集合知識相矛盾的問題！也是教師認知沖突的體現.從與所學知識矛盾的觀點，至少可以思考下列問題的轉接（見表1）：

通過給出康托爾集合論對于無限集合的闡述以及多種案例的研究（詳細可參見《對一個課本問題的思考》一文，中學數學雜志，2009，3，作者：劉薇），我們發現高中數學中的集合論依托的背景是有限集合，而閱讀與思考中多闡述的是無限集合，正是因為有限到無限的變換，才從量變發生到了質變，讓我們自身認識到了無限集合的魅力！進一步教師自身也可以思考：中國古代對于圓面積的求解過程，恰恰是這里無限到有限的一種質變，不正是正n邊形不斷趨向無窮時得到的面積嗎？這種問題背后轉接的思考，有助于教師自身專業化水平的提高.

說明：從上述案例我們發現，教師對于閱讀與思考中經典的一個問題，進行了轉接與開發，讓學生較好地理解了問題開拓的美妙之處，進而產生了對問題多一點思考的要求，這種問題轉接模式對于我們教學有了更多的思考.

最后借用北師大劉紹學教授這樣表述問題轉接模式教學：問題背后隱藏著更好的思考，讓這種思考成為新的問題，轉接到新的知識、新的思想，周而復始循序漸進，不斷開發問題、不斷做學問、做思考，讓問題轉接模式成為與新課程標準理念緊密結合的獨特教學方式.