向量在高中數(shù)學解題中的應用分析

◆劉 戀

向量在高中數(shù)學解題中的應用分析

◆劉 戀

向量是高中階段應用性較強的知識內容，被廣泛運用于解決數(shù)學問題，是重要的解題手段，同時還能實現(xiàn)數(shù)學知識的有機串聯(lián)，有助于數(shù)學知識的整體性構建。所以，高中學生加強對向量知識的運用學習是十分重要的。本文簡要的對向量知識在實際問題解決中的應用進行分析，以期為提高高中學生的解題能。

向量；高中數(shù)學解題；應用分析

一、向量知識在線性規(guī)劃問題中的應用

向量知識在線性規(guī)劃問題中的應用主要是就相關向量的數(shù)量積進行分析，并把z=ax+by的目標函數(shù)用作表示平面內的向量AM=（a，b）與向量AB=（x，y）的數(shù)量積。若|AM|為固定值，則z的值為向量AN在向量AM方向的投影的常數(shù)倍，而這種情況下該投影的最值點就是最優(yōu)點。

例如，在就問題“若存在z=x+4y中未知變量x、y滿足以下條件，即：①x-8y＜0，②x+2y＜3，③x>1，試求出未知數(shù)z的最大值以及最小值。”進行解決時。

學生應當首先假設存在點N（x，y）是任意一點，且點M可表示為（2，4），所以z=A·AN ，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義能計算得出：若N（x，y）在點（2，4）處時，則z=x+4y最大值等于18；而N（x，y）在點P（2，18）時，z=x+4y的最小值等于52。

二、向量知識在幾何問題解決中的應用

存在大小與方向特征的量為向量，而向量的大小則就是該向量的模。相等向量、零向量以及共線向量都是重要的向量知識點，當存在向量（a，b）（b≠0）時，則a∥b的充要條件為，有實數(shù)λ，且a=λ b。

在進行以下例題解決時，就可運用該知識點進行解決：當△AOM的頂點為A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），而點B、C、D則是AO、AM、OM線段的中點，探討直線BC、BD、CD的方程表達式。

首先，由于三角形頂點坐標分別為A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），所以，各個中點B、C、D的坐標可表示為（1，-1）、（-32，-12）、（-12，12）。設存在點G（x，y）為直線BD上的點，由于DG∥DB，所以直線BD的方程可被求出。運用同樣的方式能就直線BC、CD方程進行計算。而利用共線向量、直線向量進行問題轉換，也能就BC、CD方程進行計算。

三、空間向量知識在立體幾何問題中的實際應用

立體幾何是高中數(shù)學課程中的重難點，空間圖形較為復雜抽象，對學生的空間想象力、邏輯思維力都有較高的要求，學生學習與實際問題解決都較為困難。把向量法運用到相關立體幾何問題解答中，能有效的實現(xiàn)復雜問題簡化，提高問題解決效率。而建立相應的直角坐標系，也能有效的將立體幾何問題轉化成更加方便計算的代數(shù)問題，簡化立體幾何問題，最終快速的解決問題。

有例題為：“有正方體ABCD-A1B1C1D1，且點E為棱DD1中點，試求是否在棱C1D1上有一點M，可以讓B1M與平面A1BE相互平行？并進行驗證。當運用向量法進行該問題解決時，可首先以點A作為原點進行空間坐標系建立，設棱長長度為2，則點B表示為（2，0，0），點E表示為（0，2，1），點B1表示為（2，0，2）；因此BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2）。設平面BEA1的法向量表示為m=（x，y，z），則m·BE=-2x +2y + z =0，且m·BA1=2x+2z，若x=1，則z=-1，y=32，最終得出m=（1，32，-1）。

當棱C1D1上有點M，且B1M∥平面A1BE，假設該點M表示為（xa，2，2），（0≤xa≤2），則BM=（xa-2，2，2），所以可以求出m·BM=1×（xa -2）- 32×2-（-1）×2=0，所以計算得出xa=1，所以當M是C1D1的中點時，存在B1M∥平面A1BE。

結束語

向量是高中數(shù)學中的重要知識內容，在解決實際問題中也具有十分重要的作用，被廣泛運用至高中數(shù)學中的平面幾何、空間幾何、三角函數(shù)以及方程不等式等多個知識內容之中。所以，學生應明確該知識內容在學習與應用中的重要性，并在這基礎上充分應用向量知識解決實際問題，并進行總結與分析，切實提高自身的問題解決能力。

[1]董志茹.向量在解決高中數(shù)學問題中的應用研究[D].內蒙古師范大學,2013.

[2]朱音.例談向量方法在高中數(shù)學解題中的應用[J].長三角(教育),2012,07:56-57.

（作者單位：湖南師范大學附屬中學）