淺議單調有界函數的極限

鄧敏

摘要 本文闡述、舉例說明了由“單調有界數列必有極限”不能得到“單調有界函數必有極限”這一結論的理由，并進一步討論了單調有界函數極限存在的條件。

關鍵詞 單調有界，數列，函數，極限，極限過程

一、引言

“單調有界數列必有極限”是微積分學的基本定理之一，是《高等數學》中證明第二個重要極限公式的一個重要預備定理， 因為數列是一種特殊函數， 所以很多學生就想當然的認為“單調有界函數必有極限”，甚至有些教師在講到函數的極限時， 也利用“單調有界數列必有極限”這個結論得出“單調有界函數必有極限”的結論， 那么“單調有界函數”是否真的就“必有極限”呢？如果結論是否定的，那么“單調有界函數”的極限到底是怎樣的呢？其極限和什么因素相關呢？

二、單調有界數列的極限

數列是定義在自然數集上的一類特殊函數， 數列的極限比較簡單， 因為其自變量的變化過程只有一個， 即 （實際上是n→+∞），所以其極限僅取決于它的“單調性”和“有界性”，“單調有界數列必有極限”這一定理就是對數列極限情況的具體詮釋。

關于“單調有界數列必有極限”， 很多《高等數學》教材上雖然沒有給出完整的證明卻都有具體表述如下：“1、如果數列﹛Xn﹜是單調遞增有上界的數列， 則該數列一定有極限，且如果M是其最小上界（即上確界），則當 時，數列﹛Xn﹜收斂于M；2、如果數列﹛Xn﹜是單調遞減有下界的數列， 則該數列一定有極限，且如果m是其最大下界（即下確界），則當 時，數列﹛Xn﹜收斂于m。

“單調有界數列必有極限”的描述已經包含了極限過程是 ， 所以我們只要說求某個數列的極限（不必說n是怎么變化的），大家都明白的。

三、單調有界函數的極限

（一）單調有界函數的極限

函數的極限相比于數列的極限就復雜多了， 其極限是由函數本身的解析表達式、函數滿足的一些條件以及極限中自變量的變化趨勢共同決定的。因此，在討論函數的極限時， 我們既要考慮函數本身， 例如函數的解析表達式、函數滿足的一些條件等， 還要考慮極限中自變量的變化趨勢。而一般自變量的變化趨勢又有以下兩大類： （又分 和 ）和 （又分 和 ）。

“單調有界函數”的描述只強調了函數本身所具有的性質---單調、有界， 并沒有給出自變量的變化過程。不像“單調有界數列必有極限”的描述中已經包含了極限過程是 ， 所以我們不能由“單調有界數列必有極限”得到“單調有界函數必有極限”的結論。[1]

下面的“例1”說明：單調有界函數， 對于不同的自變量的變化過程， 其極限可能存在， 也可能不存在。

例1： 函數f（x）= 在其定義域 內是單調有界遞減函數，且有 ， ，但是當 時f（x）= 的極限不存在，即 不存在。

（二）對“單調有界函數”的極限問題，一般結論就是“單調有界連續函數一定有極限”。 “單調有界函數不一定每點都有極限，但是每點都有單側極限”。[2] 即設函數f（x） 是 或內的單調遞增函數，則f（x）在 或內每一點x都有單側極限，更確切些就是 ，此外如果 ，那么 ，關于單調遞減的函數，顯然有類似的結果。[3]

下面的“例2”就說明：在各定義區間內單調有界的函數，因為在定義域內某點不連續，所以函數在該點的極限不存在。

例2： 函數 在其兩個定義區間內都是單調有界函數， 是f（x）在其定義域內的一個跳躍間斷點， 盡管函數f（x）在其兩個定義區間內是單調有界函數， 但因 ， 所以當 時， 不存在。

（三）最后要說明的是，我們研究函數在 時的極限時還要看該函數在 的某個去心鄰域內是否有定義；在研究 時的極限時，還要看是否存在正數X， 當|x|>X時該函數有定義。只有在滿足以上前提條件下， 才可以談這個函數此時的極限存在與不存在。這也就是前面所說的“函數滿足的一些條件”所指的內容。

參考文獻

[1] 羅鐵山，王榮. 單調有界函數必有極限嗎？[J].唐山學院學報，2007年， 20卷（4期）：103.

[2] 徐小湛. 單調有界函數的極限[[DB/OL]. http：//xuxzmail.blog.163.com/blog/static/251319162015191173764/.2015年2月 ，

[3]Rudin編著.數學分析原理（下）[M].北京：高等院校出版社.1992.