用《高等數(shù)學(xué)》微積分工具解決高中物理問題

葉曉文

摘要：本文章針對(duì)《高等數(shù)學(xué)》中的微積分工具對(duì)高中物理問題進(jìn)行分析，采用過程語(yǔ)言對(duì)物理過程進(jìn)行描述，幫助同學(xué)更好地理解數(shù)學(xué)物理問題，為解決高中物理難題提供一種新方法。

一般來講，我們?cè)诟咧兴佑|到的物理問題，都是從宏觀上進(jìn)行分析，列出數(shù)學(xué)方程式進(jìn)行計(jì)算，最后得出數(shù)學(xué)答案，再轉(zhuǎn)化為物理含義。往往在解題的過程中，忽略了物理學(xué)的內(nèi)在含義。為了解決這個(gè)問題，本文采用《高等數(shù)學(xué)》中微積分的思想，對(duì)高中物理中的典型問題進(jìn)行分析，達(dá)到從物理角度，利用數(shù)學(xué)工具，解決物理問題的目的。

下面，我們就力學(xué)中的有關(guān)問題對(duì)微積分的應(yīng)用進(jìn)行闡述：

1、解決變速直線運(yùn)動(dòng)位移問題

勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移和速度之間的關(guān)系 ；但變速直線運(yùn)動(dòng)，那么物體的位移如何求解呢？

例1 汽車以 的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等減速 剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？

普通解析：現(xiàn)在我們知道，根據(jù)勻減速直線運(yùn)動(dòng)速度位移公式 就可以求得汽車走了 公里。

但是，這一種公式從表面上看無法與物理過程相聯(lián)系。在運(yùn)動(dòng)的過程中，物體的速度是連續(xù)變化的，不應(yīng)該用一個(gè)固定的公式來進(jìn)行計(jì)算。這樣會(huì)給學(xué)生理解物理過程帶來很大的困難。又比如加速度是不斷變化時(shí)，這時(shí)候又必須重新推導(dǎo)公式。下面我們嘗試用微積分來進(jìn)行求解。

微積分解：汽車在減速運(yùn)動(dòng)這段時(shí)間內(nèi)速度隨時(shí)間變化的關(guān)系 ，從開始剎車到停車的時(shí)間 ，所以汽車由剎車到停車行駛的位移

2、解決變力做功問題

恒力做功，我們可以利用公式直接求出 ；但對(duì)于變力做功，我們?nèi)绾吻蠼饽兀?/p>

例2：如圖所示，質(zhì)量為 的物體以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動(dòng)，已知物體與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為 ，求物體從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，摩擦力做了多少功。

普通解析：物體沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，在不同位置與圓環(huán)間的正壓力不同，故而摩擦力為一変力，本題不能簡(jiǎn)單的用 來求。

可由圓軌道的對(duì)稱性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對(duì)稱位置A和B，設(shè)OA、OB與水平直徑的夾角為θ。在 的足夠短圓弧上，△S可看作直線，且摩擦力可視為恒力，則在A、B兩點(diǎn)附近的△S內(nèi)，摩擦力所做的功之和可表示為：

又因?yàn)檐囋贏、B兩點(diǎn)以速率v作圓周運(yùn)動(dòng)，所以：

綜合以上各式得：

故摩擦力對(duì)車所做的功：

微積分解：物體在軌道上受到的摩擦力 ，從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)摩擦力所做的功為

這題是一個(gè)復(fù)雜的變力做功問題，利用公式直接求功是難以辦到的。利用微積分思想，把物體的運(yùn)動(dòng)無限細(xì)分，在每一份位移微元內(nèi)，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認(rèn)為物體在恒力作用下的運(yùn)動(dòng)；接下來把所有位移內(nèi)的功相加，即“無限求和”，則總的功就可以知道。

3、微分的應(yīng)用

我們經(jīng)常對(duì)物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如 圖像，求其斜率可以得出加速度 ，求其面積可以得出位移 ，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過 圖像中某個(gè)點(diǎn)作出切線，其斜率即a= 。

下面我們從代數(shù)上考察物理量的變化率：

例3、若某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為上s=3t+2t2，試求其t時(shí)刻的速度的表達(dá)式。（所有物理量都用國(guó)際制單位，以下同）

微分分析：我們知道，公式 一般是求 時(shí)間內(nèi)的平均速度，當(dāng) 取很小很小，才可近似處理成瞬時(shí)速度。

當(dāng) 取很小，小到跟 相比忽略不計(jì)時(shí)， 即為 時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

在高中物理中還有很多例子，比如我們講過的瞬時(shí)速度，瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、引力勢(shì)能等都用到了微積分思想，所有這些例子都有它的共性。作為大學(xué)知識(shí)在高中的應(yīng)用，雖然微積分高中不要求，但他的思想無不貫穿整個(gè)高中物理。“微積分思想”豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維。我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候，要學(xué)會(huì)這種研究問題的思想方法，只有這樣，在緊張的學(xué)習(xí)中，我們才能做到事半功倍，并可以解決一些復(fù)雜的物理問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 高等數(shù)學(xué)，同濟(jì)大學(xué)出版社，[M]，2007.4

[2] 高一物理必修一，人民教育出版社，[M]，