淺談數(shù)列求和

袁惠

【摘要】求數(shù)列的前n項(xiàng)和是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一，也是高考常考察的知識(shí)點(diǎn)之一，有些數(shù)列比較有特點(diǎn)，我們可以總結(jié)一些方法來(lái)求和，本文介紹公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法、倒序相加法、分組求和法等方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)列求和 方法

數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考常考的內(nèi)容，其主要常見的方法有公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法、倒序相加法、分組求和等等。

1、公式法：

適用題型：直接是等差數(shù)列或是等比數(shù)列形式的可以直接利用公式求和

等差數(shù)列求和公式： = = n +

等比數(shù)列求和公式： =n （q=1） Sn= （q 1）

例1. （2014·全國(guó)卷Ⅱ）等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2、a4、a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.

答案：n（n+1）

解析：∵ 等差數(shù)列{an}的公差為2，且a2、a4、a8成等比數(shù)列，∴ a4（2）=a2a8，即（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2，則an=2n，∴ Sn=n（n+1）.

例2. （2014·福建卷）在等比數(shù)列{an}中，a2=3，a5=81. 若bn=log3an，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=________.

答案：2（n2-n）

解析：設(shè){an}的公比為q，依題意得a1q4=81，（a1q=3，）解得q=3.（a1=1，）因?yàn)閎n=log3an=n-1，所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=2（n（b1+bn））=2（n2-n）.

注意：使用公式的前提，需明確基本量。

2、錯(cuò)位相減法

適用題型： 用于等比數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列求和

例3 （2014·全國(guó)卷Ⅰ）已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2、a4是方程x2-5x+6=0的根，則數(shù)列2n（an）的前n項(xiàng)和為________.

答案：Sn=2-2n+1（n+4）

解析：方程x2-5x+6=0的兩根為2、3.

由題意得a2=2，a4=3.

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4-a2=2d，

故d=2（1），從而得a1=2（3）.

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2（1）n+1.

設(shè)2n（an）的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）知2n（an）=2n+1（n+2），

則Sn=22（3）+23（4）+…+2n（n+1）+2n+1（n+2），

2（1）Sn=23（3）+24（4）+…+2n+1（n+1）+2n+2（n+2），

兩式相減得

2（1）Sn=4（3）+2n+1（1）-2n+2（n+2）=4（3）+4（1）2n-1（1）-2n+2（n+2），所以Sn=2-2n+1（n+4）.

注意：在錯(cuò)位相減后要數(shù)準(zhǔn)形成的等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

3.裂項(xiàng)法

適用于通項(xiàng)公式是分式形式的，可以把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，然后進(jìn)行累加抵消中間的許多項(xiàng)。

例4： 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.

解： = （裂項(xiàng)）

則 Sn = =1- =

注意：1、找規(guī)律消去重疊的項(xiàng)。即把所有正項(xiàng)放在一起，所有負(fù)項(xiàng)放在一起消去重疊的項(xiàng)。

2、數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)，首尾相消或隔項(xiàng)相消，無(wú)限項(xiàng)化為有限項(xiàng)，余下的項(xiàng)首尾前后呼應(yīng)，即前面剩正項(xiàng)則后面剩負(fù)項(xiàng)，，前面剩負(fù)項(xiàng)則后面剩正項(xiàng)，前后剩項(xiàng)個(gè)數(shù)一致。

常用公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4.倒序相加法

適用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列求和

例5（2003年上海春季高考題）設(shè) ，求 的值 。

解析：本題要求利用課本中等差數(shù)列的求和方法，如果平時(shí)只記憶公式，而缺乏對(duì)課本公式來(lái)源過(guò)程的閱讀，就不知道要用“倒序相加法”。

令 ①

則 ②

為化簡(jiǎn)，應(yīng)將①、②式相加，類似于等差數(shù)列的情形，猜想： 。而

所以：

所以：

5.分組求和法

適用數(shù)列表面看既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但將這類數(shù)列適當(dāng)分組，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

例6：求 的前 項(xiàng)和.

解：

.

注意：準(zhǔn)確把握通項(xiàng)時(shí)的項(xiàng)數(shù)及分組求和時(shí)的項(xiàng)數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：拆項(xiàng)的目的是把非等差、等比數(shù)列的求和問題通過(guò)拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差、 數(shù)列的求和問題.本題中若將數(shù)列改為“ ， ， ， ，…”，則需要用錯(cuò)位相減法求其前 項(xiàng)和.

以上是數(shù)列求和的常見的幾種方法，做題時(shí)觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律選擇適當(dāng)?shù)姆椒ň蜁?huì)輕而易舉的進(jìn)行求解。

【參考文獻(xiàn)】

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