以問題為主線、打造數(shù)學(xué)高效課堂

郝宇航

【摘要】引起學(xué)生興趣的課堂是高效的，促使師生、生生多維互動的課堂是高效的，促使學(xué)生積極思維的課堂是高效的。本文以《基本不等式》課堂教學(xué)為例，探頭如何以問題為主線，讓學(xué)生自己探究知識的生成過程。

【關(guān)鍵詞】基本不等式 高中 數(shù)學(xué) 模擬課堂

基本不等式是學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的性質(zhì)及常見不等式的解法以后學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的不等式模型。本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式 的證明過程，難點(diǎn)是用基本不等式求最大值和最小值。在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，我采用教師引導(dǎo)下的學(xué)生分組合作的教學(xué)方法，以問題為主線，讓學(xué)生自己探究知識的生成過程。我精心設(shè)計(jì)每一個(gè)情境、每一個(gè)問題，盡量提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點(diǎn)，又不偏離主題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的邏輯與嚴(yán)謹(jǐn)，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和應(yīng)用的廣泛性。

一、情境引入

在情境引入中，我引導(dǎo)學(xué)生圍繞設(shè)置好的探究路徑展開，如“風(fēng)車中有哪些幾何圖形？”“根據(jù)這些圖形的面積大小，你能抽象出一些不等關(guān)系嗎？它能用不等式表示嗎？”等問題，為學(xué)生指明探究的方向，讓學(xué)生先描述不等關(guān)系，再抽象出不等式，而不是直接得出不等式，符合人的認(rèn)知過程。在基本不等式的意義探究中，我先指明了算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的定義，然后讓學(xué)生在圖中找出 的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)形結(jié)合來體會基本不等式的代數(shù)意義和幾何意義，這樣既為學(xué)生指明了探究方向，又使邏輯自然、清晰。

二、教學(xué)過程

師：請同學(xué)們看屏幕上的探究1，大家認(rèn)識這個(gè)圖形嗎？這是2002年在北京舉行的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，“風(fēng)車”中有哪些幾何圖形？

生：有大正方形ABCD，四個(gè)全等的直角三角形，小正方形EFGH。

師： 根據(jù)這些圖形的面積大小，你能抽象出一些不等關(guān)系嗎？它能用不等式表示嗎？

生：正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和，如果設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為 ，這時(shí)正方形ABCD的面積為 ，四個(gè)直角三角形的面積和為 ，我們就得到了一個(gè)不等式， 。

師：那么這兩個(gè)式子能相等嗎？

生：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯馊切危叫蜤FGH縮為一個(gè)點(diǎn)即 時(shí)，有 .

師：在圖形中 ，那么這個(gè)不等式對任意實(shí)數(shù) 是否也成立呢？請大家以小組為單位相互討論并給出證明。

生：這個(gè)不等式對任意實(shí)數(shù) 都成立，可以用作差法來證明： ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立。

師：如果 ，我們用 分別代替 ，會得到什么式子？

生：可以得到 。

師：通常我們把上式寫作 ，這就是我們要學(xué)習(xí)的基本不等式。大家能否根據(jù)不等式的性質(zhì)，直接推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？請同學(xué)們根據(jù)屏幕上的提示進(jìn)行填空，相互討論，完成推導(dǎo)。

生：要證 ，只要證 ，即只要證明 ，也就是證明 ，顯然，上式是成立的，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立。這種證明方法是我們以后要學(xué)習(xí)的分析法。這樣，我們又一次得到了基本不等式。

師：請同學(xué)們看屏幕上的探究2，我們常把 叫做正數(shù) 的算術(shù)平均數(shù)，把 叫做正數(shù) 的幾何平均數(shù)。試指出圖2中哪些線段的長度分別是 的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)？能否比較它們的大小關(guān)系？

生：半徑 ，為 的算術(shù)平均數(shù)，由△ACD∽△DCB可得 ，為 的幾何平均數(shù)，由于 ，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即 時(shí)等號成立.因此我們得到了基本不等式的代數(shù)意義為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，幾何意義為半徑不小于半弦.

師：那么基本不等式有什么用呢？請同學(xué)們看屏幕中的例1的第1問，以小組為單位進(jìn)行討論，想辦法解決這個(gè)問題.

例1.（1）如圖，用籬笆圍成一個(gè)面積為 的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

師：我們請1組4號同學(xué)在屏幕上展示一下他的解法，并請他分析一下.

生：該題目要解決的問題是面積確定時(shí)，長和寬取什么值時(shí)，周長最短.我由面積 ，根據(jù)基本不等式 得矩形的周長為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號。所以，當(dāng)長、寬各為10米時(shí)，籬笆最短為40米。

師：我們請2組的4號同學(xué)來點(diǎn)評一下他的解法有什么不足。

生：應(yīng)用題應(yīng)先設(shè)變量，解答的開始應(yīng)先設(shè)矩形的長為 米，寬為 米.

師：我們回到最初的問題，基本不等式有什么用，對，可以用來求函數(shù)的最值。大家繼續(xù)討論，再來完成例1的第2問，請2組的1號同學(xué)來說一下解答過程！

例1.（2）如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

解：設(shè)菜園的長為 ，寬為 ，則 ，由 得矩形的面積 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立.所以當(dāng)矩形的長寬都為9m時(shí)，矩形面積最大為 .

師：大家對比上面兩個(gè)題的已知和所求，思考可將求最值的情形分成幾類？

生：兩類，若兩正數(shù)的乘積為定值，它們的和有最小值；若兩正數(shù)的和為定值，，它們的乘積有最大值，即和定積最大，積定和最小.

師：請同學(xué)們看屏幕上的鞏固練習(xí)：判斷下列求函數(shù)最值的方法是否正確？

（1） ；（2）

生：第1題沒有考慮到 ，第2題等號不能成立，因此兩種求最值的方法都是錯(cuò)誤的。

師：請大家結(jié)合以上題目，歸納一下利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意哪些問題？

生：利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)注意：兩個(gè)變量都為正數(shù)，兩個(gè)變量的和或積是定值，還要注意等號成立的條件，即“一正、二定、三相等”。

師：同學(xué)們回顧一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)？還有哪些問題需要幫助？

生：一個(gè)不等式：若 ，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立；兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想；三個(gè)注意：利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)注意“一正、二定、三相等”。

師：請同學(xué)們看屏幕：今天的作業(yè)是

（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題A組2、4題

（2）探究作業(yè)：你能利用函數(shù) 來證明基本不等式嗎？

總之，在課堂教學(xué)中以問題為主線，學(xué)生不僅獲得了知識，而且更重要的是獲得了探索問題的思想方法和能力。學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，思考多，討論多，合作多，質(zhì)疑多，在問題解決過程中獲得了解決問題的方式，讓學(xué)生高層次的思維能力和自主學(xué)習(xí)的能力在學(xué)習(xí)過程中得到了真正的提高；真正實(shí)現(xiàn)課堂的高效性。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉偉，孟祥東.基本不等式 課堂實(shí)錄[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（9）.

[2]高建輝.以問題為主線激活高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].學(xué)周刊，2013（27）