導數與不等式聯姻的解決策略

韓華

【摘要】利用導數來解決不等式問題，越來越多的被作為考查的重點出現在近幾年的高考題中，本文就這點結合教學過程中的實際來簡單探討一下。

【關鍵詞】高中數學 導數 不等式

不等式是高中數學中的基本問題，它也是高考必考查的一類問題，通常是不等式的解法、含有參數的不等式、不等式的證明等。它可以和函數、數列等知識進行綜合考查，考查函數思想、分類討論思想、可以很好的考查考生的綜合分析和解決問題的能力。本文就高考中和平時練習中出現的一些題型，茲舉幾例進行說明。

一、利用導數來證明不等式問題

（一）利用導數得出函數單調性來證明不等式

我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性，然后再用函數單調性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉化為證明函數的單調性。具體有如下幾種形式：

1、直接構造函數，然后用導數證明該函數的增減性；再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），來證明不等式成立。

例1：x>0時，求證；x -ln（1+x）<0

證明：設f（x）= x -ln（1+x） （x>0）， 則f （x）=

∵x>0，∴f （x）<0，故f（x）在（0，+∞）上遞減，

所以x>0時，f（x）

2、把不等式變形后再構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b>a>e， 求證：ab>b a， （e為自然對數的底）

證明：要證ab>b a只需證lnab>lnba 即證：blna-alnb>0

設f（x）=xlna-alnx （x>a>e）；則f （x）=lna- ，

∵a>e，x>a ∴lna>1， <1，∴f （x）>0，因而f（x）在（e， +∞）上遞增

∵b>a，∴f（b）>f（a）；故blna-alnb>alna-alna=0；即blna>alnb

所以ab>b a成立。

注意：此題若以a為自變量構造函數f（x）=blnx-xlnb （e

則 ，f′（x）>0時 時 ，故f（x）在區間（e， b）上的增減性要由 的大小而定，當然由題可以推測 ，

故f（x）在區間（e， b）上遞減，但要證明 則需另費周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來構造函數好，由本例可知用函數單調性證明不等式時，如何選擇自變量來構造函數是比較重要的。

（二）利用導數求出函數的最值（或值域）后，再證明不等式。

導數的另一個作用是求函數的最值。 因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數求出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題。利用導數求出函數的最大（小）值，再證明不等式：

例3：求證：n∈N*，n≥3時，2n >2n+1

證明：要證原式，即需證：2n-2n-1>0，n≥3時成立

設f（x）=2x-2x-1（x≥3），則f （x）=2xln2-2（x≥3），

∵x≥3，∴f （x）≥23ln3-2>0

∴f（x）在[3，+∞ 上是增函數，

∴f（x）的最小值為f（3）=23-2×3-1=1>0

所以，n∈N*，n≥3時，f（n）≥f（3）>0， 即n≥3時，2n-2n-1>0成立，

二、利用導數解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為m>f（x） （或m

例4：已知函數 ，對f（x）定義域內任意的x的值，f（x）≥27恒成立，求a的取值范圍。

解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），由f（x）≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立

知 對一切x∈（0，+∞）恒成立，

即 對x∈（0，+∞）恒成立

設 則 ，由h′（x）=0解

h′（x）>0時，解得00時x>

所以h（x）在（0， ）上遞增，在（ ，+∞）上遞減，

故h（x）的最大值為 ，所以

總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數的單調性或最值，我們都可以用導數作工具來解決，這是導數的一個新的應用，也是轉化與化歸思想在高中數學中的重要體現。

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