高中數學概率題的解答方法分析

江蘇省揚州中學教育集團樹人學校 秦詠梅

高中數學概率題的解答方法分析

江蘇省揚州中學教育集團樹人學校 秦詠梅

高中生大多面臨著高考的實際問題，為了考入自己滿意的學校、完成自身的理想，作為高中生應當分毫必爭。數學無論對于文科還是理科都是非常重要的科目，而在數學的學習中，概率相關的知識是重難點。對于高中生來說，概率題的解答綜合性很強，常常會出現理不清題目中的各種關系等問題，并且概率的知識中融入了很多不同的數學思想和方法，為了能夠快速地做好做對概率題，作為高中生，應當能夠結合所學習和掌握的數學思想和方法，從多個角度分析并解決問題。

一、概率和函數思想的結合

高中數學的學習過程之中，函數思想是非常重要的。函數作為貫穿整個高中學習過程的重要知識點，=函數思想抽象于基本的函數內容，并對函數的基本內容進行了更高程度的概括和提煉，故而在研究方程、不等式、數列、解析幾何等內容時，函數思想通常都能起重要作用，同時，函數思想也能夠很好的和概率題相結合，幫助高中生更好地理清題目之中的各個數據、概念之間的關系，更加直觀地進行計算，而不需要通過太過絞盡腦汁的分析，利用函數思想，概率題的解答將會獲得更多便利。

例如如下的例題：

獵人在相距100m處射擊一野兔，命中的概率為1/2，如果第一次未擊中，則獵人進行第二次射擊，但距離已是150m，如果又未擊中，則獵人進行第三次射擊，但距離已是200m，已知此獵人命中的概率與距離的平方成反比，求射擊不超過三次擊中野兔的概率。

解：因為概率P=K/r×r，由已知r=100時，P=1/2得K=5000，從而可以求得：

當r=150時，P=2/9；當r=200時，P=1/8。

記A1：第一次命中，A2：第一次沒有命中；

B1：第二次命中，B2：第二次沒有命中；

C1：第三次命中，C2：第三次沒有命中。

則：P（A1）=1/2，P（A2）=1/2，P（B1）=2/9，P（B2）=7/9，P（C1）=1/8，P（C2）=7/8。

命中可以表示為：A1∪A2B1∪A2B2C1，由于各次射擊是否命中相互獨立，且這三個事件互斥，所以命中的概率為：P（A1∪A2B1∪A2B2C1）=P（A1）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）P（C1）=1/2+1/2×2/9+1/2×7/9×1/8=95/144。由這樣一道題目我們可以看出，將函數的知識應用到概率題的解答之中，我們將能夠更為直觀地分析整個題目的解題流程，并能夠更為容易地計算出正確的答案。

二、概率與數形結合思想的結合

數形結合思想是解決各類計算問題的基本思想之一，是高中生應當掌握能力的基礎，與函數思想相似，數形結合思想也是大多高中生在一直學習中就能夠構建起來的。但很多同學往往不重視對數形結合思想的培養，在面對一些可以結合圖形完成的概率題時，他們往往會一時無法想到數形結合的方法而手足無措。掌握數形結合思想，不但對解決其他類型的題目有很大的幫助，在概率的學習上也會有很大的好處。

例如如下的例題：

兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去。則兩人會面的概率為？

解：因為兩人誰也沒有講好確切的時間，故樣本點由兩個數（甲乙兩人各自到達的時刻）組成。以7點鐘作為計算時間的起點，設甲乙各在第x分鐘和第y分鐘到達，則樣本空間為

Ω：{（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}，畫成圖為一正方形。會面的充要條件是|x-y| ≤20，即事件A={可以會面}所對應的區域是圖1中的陰影部分。故P=1-2×1/2×40×40/（60×60）=1-1600/3600=5/9。

這樣一道直接推理起來較為困難的題目，通過數形結合的方式，其實簡單地畫一個圖就能得到很好的解決，故而高中生應當更為重視對數形結合思想的練習，在遇到能夠根據數據畫圖求解的題目時，要能夠在很短時間內反應過來畫圖解答，高考中每一道題的時間都不多，利用數形結合的思想，能夠快速正確地解答當前的題目，省下更多的時間來處理別的難題。

圖1

三、概率和遞推思想的結合

遞推思想是解決概率問題的一個主流思想，它推理過程直接，易于理解，很多學生在解答概率題時都會運用到遞推思想，然而遞推思想的一個致命缺點就是它往往耗時更多，當題目的難度不太大、推理過程難度也不過高的時候，運用遞推思想可快速而直接地得出答案，是最優的選擇。除此之外，我們學習過的遞推公式在數列中的運用很多，當然也可以運用在概率題的解答之中。

例如如下例題：

A，B二人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規則如下：若擲出的點數之和為3的倍數，該擲骰子的人再繼續擲；若擲出的點數之和不是3的倍數，就由對方接著擲，第一次由A擲。若第n次由A擲的概率為P，求P。

解：因為第一次由A來拋，擲出的點數之和為3的倍數，擲骰子的人再繼續擲，則第二次由A拋的概率是12/36，即1/3。第三次由A拋的概率是12/36×12/36，即1/3的平方。第四次由A拋的概率是12/36×12/36×12/36，即1/3的三次方。依此類推，第n次由A擲的概率為1/3的n-1次方。故而

由這樣的題我們可以看出，利用遞推思想能夠很直觀而易于理解的解決問題。遞推思想不僅僅是盲目地一步步推出結果，它的要點在于找到每一步之間的聯系，并根據聯系按照規律寫出接下來會發生的結果。這種手段常常可以用在大題的計算中，往往會有很好的效果。

當然，高中概率題的解答思想不僅僅只有以上三種，例如方程思想、補集思想等都可以運用在題目的實際解答中。重要的是要如何將我們在平時的大量練習中主動或習慣形成的不同解題思想運用到實際的解題過程中去，并且利用不同的運用的對比找到解答一類題的統一技巧，做到觸類旁通，會一題會一類題，這樣才能在考試的過程中節省更多的時間，提高解題效率，獲得更好的成績。