二次函數(shù)與一元二次方程關系應用探究

四川省資陽市雁江區(qū)城東新區(qū)航向九年義務教育學校 張 濤

二次函數(shù)與一元二次方程關系應用探究

四川省資陽市雁江區(qū)城東新區(qū)航向九年義務教育學校 張 濤

本文分析了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，并從解題的角度對兩者之間關系的實際應用進行了探討，強調(diào)了需要注意的一系列問題，僅供參考。

二次函數(shù)；一元二次方程；關系；應用

二次函數(shù)與一元二次方程是初中數(shù)學學習的主要內(nèi)容，二次函數(shù)通常采用y=ax2+bx+c（a≠0）表示，一元二次方程通常采用ax2+bx+c=0（a≠0）表示。理清兩者間的關系，能夠使解題過程更加清晰，是提高學生解題效率的關鍵途徑。

一、二次函數(shù)與一元二次方程的關系

二次函數(shù)與一元二次方程間的關系，需根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想來判斷。從圖像的角度看，二次函數(shù)的圖像與x軸的交點，即是一元二次方程的解，因此在解題過程中，可以采用數(shù)形結(jié)合的思想，求出二次函數(shù)圖像與x軸的交點，以此求出一元二次方程的解。從另一個角度看，如能夠求出一元二次方程的解，也就意味著可獲得二次函數(shù)圖像與x軸交點的坐標。了解上述兩點，能夠為解題帶來極大的便利。

二、二次函數(shù)與一元二次方程關系的應用

文章本部分主要從實際例題的角度入手，闡述了在解題過程中應如何應用二次函數(shù)與一元二次方程間的關系。

1．求交點問題

求交點問題屬常見題型之一，如下：

例1 已知拋物線y=x2-（2m-1）x+m2-m-2，求其與x軸交點的橫坐標。

解：設y=0，此時二次函數(shù)可變?yōu)?=x2-（2m-1）x+m2-m-2，相當于一元二次方程，

可采用求解一元二次方程根的方法，得到二次函數(shù)與x軸的交點橫坐標。

2．已知交點，求二次函數(shù)解析式問題

這種題型是題目給出二次函數(shù)圖像與x軸的交點，要求求出二次函數(shù)解析式，該種題型同樣可以在考慮二次函數(shù)與一元二次方程的關系的基礎上解題。

例2 已知二次函數(shù)y=x2+mx+6，其與x軸存在兩個交點，分別為A與B。該二次函數(shù)圖像的頂點為P，S△PAB=1/8，求二次函數(shù)解析式。

分析：二次函數(shù)y=x2+mx+6中，a與c的值已知，a=1，c=6，求其解析式，只需求出m的值便可，可從△PAB的面積入手。將P、A、B三點的坐標帶入到面積之中求解，以此為基礎，求出m的值，進而得出二次函數(shù)的解析式。

解：設A的坐標為（x1，0），B的坐標為（x2，0），P的坐標為（x0， y0）。

將m 的值代入二次函數(shù)中，可以得出二次函數(shù)解析式。共有兩個：

3．求二次函數(shù)某一系數(shù)的取值范圍問題

在二次函數(shù)與一元二次方程有關題型中，存在已知二次函數(shù)解析式，但其中部分系數(shù)值未知，要求該系數(shù)取值范圍的問題，如例3：

例3 已知二次函數(shù)解析式為y=mx2+（3-2m）x+m-2（m≠0），該二次函數(shù)與x軸的交點有兩個，求該解析式中m的取值范圍。

分析：在例3中，已知二次函數(shù)的圖像與x軸交點有兩個，此為解題關鍵。由于二次函數(shù)與x軸的交點與?有關，如?＞0，則交點為2個，而?=b2-4ac。可將上述已知問題綜合在一起，將二次函數(shù)與一元二次方程間的關系充分應用，達到解題的目的。

解：已知m≠0，且?＞0，

所以b2-4ac＞0，

代入系數(shù)可得：（3-2m）2-4m（m-2）＞0，

整理可得：-4m+9＞0，解得m＜9/4，

因此可以得出m的取值范圍為：m＜9/4且m≠0。

二、解題注意事項

二次函數(shù)與一元二次方程兩者可聯(lián)合使用，作為解決相應問題的主要方法。在解題過程中，需要注意利用兩者解決問題的靈活性，同時將數(shù)形結(jié)合的思想滲透到解題過程中，充分關注二次函數(shù)圖像與x軸的兩個交點，牢記兩個交點與一元二次方程間的關系。要能夠?qū)⒍魏瘮?shù)與一元二次方程靈活轉(zhuǎn)換，以提高解題效率。針對二次函數(shù)圖像與x軸交點問題，可將y設為0，以求交點。針對二次函數(shù)某系數(shù)的取值問題，可利用?求其取值范圍，這樣才能使解題速度提高，使解題準確性得到保證。

綜上所述，二次函數(shù)與一元二次方程兩者之間存在著可相互轉(zhuǎn)換的關系，需將其應用到解題過程中，提高解題的靈活性與效率，將“數(shù)”與“形”結(jié)合，時時刻刻想到以圖像為依據(jù)解決問題，使解題準確度得到提高。

[1]張文彬．二次函數(shù)與一元二次方程關系案例與反思[J]．科學咨詢（教育科研），2015（01）：81-82．

[2]陳養(yǎng)燈．一元二次方程、二次不等式與二次函數(shù)的關系[J]．龍巖師專學報，2004（06）：102-104．

[3]季海林．淺析一元二次方程根與系數(shù)關系的應用[J]．科教文匯（下旬刊），2011（11）：117+124．

[4]王惠．目標引領經(jīng)驗提升——“二次函數(shù)與一元二次方程”教學設計[J]．教育教學論壇，2013（07）：176-177．