小學數學問題解決認知模型研究

王丹

摘 要：數學問題的解決是小學數學教育的重要內容之一，如何實施有效的教育模式提高學生利用數學知識解決生活中問題的能力，是當前小學數學課堂需要重點研究的課題。就小學數學問題解決認知模型的概念內涵、建構意義以及具體建構步驟等問題，做一簡單探討。

關鍵詞：小學數學；解決問題；認知模型；概念內涵

新課程改革背景下的小學數學教育想要實現知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三維教學目標的有機統一，既需要考慮到有關學習結果的總結性評價，也要關注有關學生學習過程的過程性評價。如何提高學生發現數學問題、分析數學問題和解決數學問題的能力是當前數學教育工作者需要重點研究的課題。針對這一論題，以波利亞為首的數學教育工作者開展了數學問題解決認知模型的研究并取得了豐富成果，值得我們小學數學教育工作者加以借鑒。

一、數學問題解決認知模型的概念是什么

認知模型這一概念起源于計算機術語，指的是計算機科學領域用來模擬人類問題解決和心理任務處理的一種方式。認知心理學將這一概念簡單描述為與人的認知加工過程相一致的一種計算模型，用以幫助人們有效預測和解釋問題并解決問題。上世紀八十年代以來，以美國數學家波利亞為首的眾多數學教育工作者展開了對于數學問題解決認知模型的研究，嘗試將數學問題的解決分為理解題目、擬定方案、執行方案和回顧這四個步驟。

二、建構數學問題解決認知模型的意義

1.學習者：小學生學習特點決定的

學生的思維發展需要經歷從具體形象思維逐漸過渡到抽象邏輯思維的過程，小學生的思維特點在很大程度上表露出了鮮明的直接感性經驗特征。在整個小學階段，學生習慣于依據直觀形象經驗開展數學學習活動，教學的直觀性是引起學生關注教學活動的重要手段之一。數學問題解決認知模型的建構，能幫助學生建立由抽象數學概念到形象直觀情境問題的聯系，符合小學生的學習特點，對于提高學習效率具有重要意義。

2.數學：數學學科教學規律決定的

小學低年級數學課程中的大部分內容都是具體知識或者是與具體知識有密切聯系的內容，學生學習起來比較容易。隨著年級的逐漸增長，學生開始接觸一些抽象的數學概念，這在很大程度上為那些抽象思維能力和邏輯思維能力較弱的學生的學習帶來了阻礙。將普遍不同的抽象概念以相通認知模型的形式呈現出來，有助于擴大數學知識容量，實現數學學科教育功能。

三、應用認知模型解決數學問題的具體步驟

例1：一個底面半徑是6厘米的圓柱形玻璃器皿里裝有一部分水，水中浸沒一個高9厘米的圓錐體鉛錘。當鉛錘從水中取出后，水面下降了0.5厘米。這個圓錐體的底面積是多少平方厘米？（π取3.14）

1.理解問題

學生看到數學問題之后，經過對問題的感知、編碼活動激活長時記憶知識對問題展開分析這一過程為理解問題階段。在此階段，學生根據問題情境中所給出的內容，結合以往學習經驗在大腦中形成一定圖式，就已知數據是什么、未知數據是什么、已知條件是什么、實施方案目的是什么等問題展開分析。以例1為例，對題目進行分析可以得到圓柱器皿底面半徑為6厘米、鉛錘高9厘米這兩個明顯的已知數據，未知數據為鉛錘的體積，實施方案的目的是為了得到鉛錘的底面積。

2.擬定方案

在正確理解題意的前提下，我們通過分析已知數據和未知數據之間的關系，或者回憶以前求解過的類似問題，擬定解題方案。在例1中，正確對“當鉛錘從水中取出后，水面下降了0.5厘米”這一信息進行分析是擬定解題方案的關鍵。我們分析可以發現：鉛錘從水中拿出后水面下降了0.5厘米，意味著圓錐體的體積等于底面半徑為6厘米、高為0.5厘米的圓柱的體積。圓柱的體積=底面積×高，圓錐體積公式=（1/3）底面積×高，將已知數據代入公式中即可獲得更多有效數據。

3.執行方案

根據擬定的解題方案，我們將同一時間內得到的已知數據一一代入方案進行解答，可以知道：圓柱的體積=底面積×高=πr2h=3.14×6×6×0.5=56.52（立方厘米）。圓錐體積公式=（1/3）底面積×高=（1/3）πr2h=56.52，已知圓錐高為9厘米，所以鉛錘表面積為56.52×3÷9=18.84（平方厘米）。

4.回顧

回顧有助于反思解題過程，來檢驗方案執行的結果是否正確，從系統的角度歸納解題思路，培養數學解題能力。將18.84重新代入原題中進行驗算，我們可以得到契合原題意的數據，說明方案執行沒有問題。

解決問題是小學數學教育的重要內容，通過數學問題解決認知模型的建構，學生能深入理解學習的過程，提高用數學知識分析問題和解決問題的能力，實現數學教育知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三維教學目標。當前的數學問題解決認知模型的建構存在發展經驗不足的問題，沒有考慮到學生主體學習愿望、數學問題解決非線性過程對學習質量的影響等問題，如何進一步提高小學數學問題解決認知模型的建構質量，仍需要眾位數學教育工作者繼續探討。

參考文獻：

[1][美]G.波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海科技教育出版社，2007.

[2]張慶林，管鵬.小學生表征應用題的元認知分析[J].心理發展與教育，1997v13（3）.