體會“統計與概率”中的四大思路

陳廷亮

概率論是統計學的基石，統計學來源于舊時的賭博.當時的賭徒們通過歷史數據的記錄，逐漸總結出了描述性統計.利用這些描述性統計的數據，他們的勝率直線上升.哪個穩賺哪個會賠，哪個波動大沒規律，這些經驗逐漸成了一種智慧，體現在之后的各個領域里.

我們平時都將概率論和統計學合稱為“概率統計”，但顯然這兩者是有關系，卻又不是統一的.統計和概率是方法論上的區別，一個是推理，一個是歸納；一個是對原理的討論，一個是對方法的討論.

學習“統計與概率”要注意以下幾個要點：1.在學習過程中要抓住對概念的引入和背景的理解，這實際上是一個抽象過程；2.在學習過程中對于引入概念的內涵和相互間的聯系及差異要仔細推敲；3.在解題過程中不要為解題而解題，而應理解題目所涉及的概念及解題的目的，因此概率學習的關鍵不在于做多少習題，而在于要把精力放在理解不同題型涉及的概念及解題的思路上去.這樣往往能“事半功倍”，同時學起來就不會枯燥而且容易記憶.下面就統計與概率相關題型和解答技巧與同學們交流分享.

第一類：用分類討論思想解決擲骰子、摸球、轉盤類應用問題

例1 現有兩枚質地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個面上都分別標有數字1、2、3、4、5、6.同時投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標的數字為擲得的結果，那么所得結果之和為9的概率是（ ）.

A.[13] B.[16] C.[19] D.[112]

【分析】每個骰子都有6種可能，投擲這兩枚骰子，所有可能結果共有36種，其中點數之和為9的有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）4種，所以，所求概率為：[436]=[19].

【點評】把統計與概率問題與我們常規的數學思想相聯系，這樣方便歸納解題方法.

例2 一個布袋內只裝有1個紅球和2個黃球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黃球的概率例3 如圖是一個能自由轉動的正六邊形轉盤，這個轉盤被三條分割線分成形狀相同、面積相等的三部分，且分別標有“1”“2”“3”三個數字，指針的位置固定不動.讓轉盤自動轉動兩次，則指針指向的數都是奇數的概率為 .

【分析】列表可知指針指向的數都是奇數的概率為[49].

【點評】把每次出現相同數字的情況全部列出，再計算都是奇數的概率.

例4 如圖，轉盤A的三個扇形面積相等，分別標有數字1，2，3，轉盤B的四個扇形面積相等，分別標有數字1，2，3，4.轉動A、B轉盤各一次，當轉盤停止轉動時，將指針所落扇形中的兩個數字相乘.（當指針落在扇形的交線上時，重新轉動轉盤.）

（1）用樹狀圖或列表法列出所有可能出現的結果；

（2）求兩個數字的積為奇數的概率.

【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果；

（2）先算出兩個數字的積為奇數的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）畫樹狀圖得：

則共有12種等可能的結果；

（2）兩個數字的積為奇數的情況有4種，則兩個數字的積為奇數的概率為：[412]=[13].

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.

第二類：用大數規律解決硬幣拋擲類問題

例5 在課外實踐活動中，甲、乙、丙、丁四個小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率，其實驗次數分別為10次、50次、100次、200次，其中實驗相對科學的是（ ）.

A.甲組 B.乙組 C.丙組 D.丁組

【點評】大量反復實驗時，某事件發生的頻率會穩定在某個常數的附近，這個常數就叫做事件概率的估計值.本題考查了模擬實驗.選擇和拋硬幣類似的條件的實驗驗證拋硬幣實驗的概率，是一種常用的模擬實驗的方法.

第三類：用比例解決估算類問題

例6 為了估計魚塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中捕獲30條魚，在每條魚身上做上記號后，把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈200條魚，如果在這200條魚中有5條魚是有記號的，則魚塘中魚的數量估計為 .

【點評】設未知數，用成比例關系進行估算解決此類問題.

第四類：對統計數據的處理問題

例7 下列說法正確的是（ ）.

A.了解飛行員視力的達標率應使用抽樣調查

B.一組數據3，6，6，7，9的中位數是6

C.從2000名學生中選200名學生進行抽樣調查，樣本容量為2000

D.一組數據1，2，3，4，5的方差是10

【點評】全面調查和抽樣調查是按調查對象范圍不同劃分的調查方式.中位數是指將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.樣本容量又稱“樣本數”，是指一個樣本的必要抽樣單位數目.方差是各個數據分別與其算術平均數之差的平方的和的平均數.

例8 某中學籃球隊12名隊員的年齡如下表：

關于這12名隊員的年齡，下列說法錯誤的是（ ）.

A.眾數是14 B.極差是3

C.中位數是14.5 D.平均數是14.8

【點評】眾數、中位數、極差、平均數是統計的基礎知識點.找對數據就可以輕松解題.

例9 為了了解某學校學生每周平均課外閱讀時間的情況，隨機抽查了該學校m名同學，對其每周平均課外閱讀時間進行統計，繪制了如下條形統計圖（圖1）和扇形統計圖（圖2）.

條形統計圖

①求m的值；

②求扇形統計圖中閱讀時間為5小時的扇形圓心角的度數；

③補全條形統計圖.

（2）直接寫出這組數據的眾數、中位數，求出這組數據的平均數.

【點評】本題考查了眾數、中位數、平均數及扇形統計圖和條形統計圖的知識，解題的關鍵是能夠結合兩個統計圖找到進一步解題的有關信息，難度不大.

上面的四類方法供同學們在平時的訓練中運用和體會，也期待同學們有更好的方法與我們共同分享.

（作者單位：江蘇省建湖縣建陽中學）