來自“統計與概率”解題策略與方法的一封信

康葉紅

親愛的同學們：

大家好！我是來自初中數學知識板塊中的“統計與概率”解題策略與方法，“統計與概率”在中考數學的考查中約占15%的分值，可不能忽視我哦！今天，我們就來聊一聊“統計與概率”這部分解題的策略與方法.

先一起看統計部分的內容，想要攻破統計的題，需要會計算一組數據的平均數、中位數、眾數、加權平均數，會計算簡單數據的方差，還要能分析統計表中的數據，我們通過例題來分析.

例1 已知一組數據0，1，2，3，x的平均數是2，求這組數據的極差、方差.

【剖析】本題考查的是數據的平均數、數據的極差與方差.

[平均數：[x]=[x1+x2+…+xnn]；

極差：最大值與最小值的差；

方差：s2=[1n][（x1-[x]）+（x2-[x]）2+…+（xn-[x]）2].]

因此，本題應先利用平均數求出x，得到一組完整的數據即0，1，2，3，4，想要求極差，找出數據中的最大值是4，最小值是0，所以極差=4-0=4，方差s2=[15]×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=[15]×（4+1+0+1+4）=2.

例2 （2016·鹽城）甲、乙兩位同學參加數學綜合素質測試，各項成績如下.（單位：分）

（1）分別計算甲、乙成績的中位數；

（2）如果數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐的成績按3∶3∶2∶2計算，那么甲、乙的數學綜合素質成績分別為多少分？

【剖析】本題考查的是計算甲、乙成績的中位數以及加權平均數.從本題中的“中位數”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的數學綜合素質成績分別為多少分”這三個關鍵字段回顧中位數和加權平均數的概念.

[中位數：將一組數據按大小順序排列，如果數據的個數是奇數，那么處于中間位置的數是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，那么中間位置的兩個數的平均數是這組數據的中位數.

加權平均數：衡量各個數據的“重要程度”的數值叫做權.]

（1）中求一組數據的中位數，由上表可將學生甲的成績排序為：89，90，90，93，一共有四個數，因此取[90+902]=90作為學生甲成績的中位數.

（2）中數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐的成績按3∶3∶2∶2計算，說明數與代數、空間與圖形、統計與概率、綜合與實踐的“重要程度”不一樣，它們在總成績中各占[33+3+2+2]，[33+3+2+2]，[23+3+2+2]，[23+3+2+2].因此甲的成績=90×[33+3+2+2]+93×[33+3+2+2]+89×[23+3+2+2]+90×[23+3+2+2]=90.7（分）.

【答案】（1）90分，93分；（2）90.7分，91.8分.

【總結】例1與例2計算了算術平均數、極差、方差、中位數、加權平均數，除此之外還有眾數（一組數據中出現次數最多的數），其實我們只要理清概念，熟記知識點，問題就能迎刃而解.

例3 （2016·揚州）從今年起，我市生物和地理會考實施改革，考試結果以等級形式呈現，分A、B、C、D四個等級.某校八年級為了迎接會考，進行了一次模擬考試，隨機抽取部分學生的生物成績進行統計，繪制成如下兩幅不完整的統計圖.

（1）這次抽樣調查共抽取了 名學生的生物成績，扇形統計圖中，D等級所對應的扇形圓心角度數為 °；

（2）將條形統計圖補充完整；

（3）如果該校八年級共有600名學生，請估計這次模擬考試有多少名學生的生物成績等級為D.

【剖析】本題考查了從統計圖中分析數據的能力，要求計算樣本容量、扇形圓心角的度數、用樣本估計總體.（1）根據A等級的人數為15人及A等級所占的比例為30%，即可求出總人數，進而可得出扇形統計圖中D等級所在的扇形的圓心角的度數.（2）根據D等級的人數=總數-A等級的人數-B等級的人數-C等級的人數，補全條形統計圖即可.（3）先求出D等級人數所占的百分比，然后即可估計出總體中等級為D的人數.

【答案】（1）50，36；（2）5，補全統計圖略；（3）60名.

【總結】我們要具備從統計圖中分析處理數據的能力，要能讀懂統計圖中蘊涵的數據信息，提取出信息來解決問題.在解決統計問題的過程中，體會用樣本估計總體的模型思想，理解數形結合的數學思想，提升邏輯推理的數學素養.

看完統計部分的內容，我們繼續來看概率部分的內容，我們要能從數據中提取信息并進行簡單的推斷；能通過列表、畫樹狀圖等方法，列出簡單隨機事件的所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果，了解事情發生的概率，會求簡單隨機事件及其發生的概率.下面通過例題來分析.

例4 將分別標有數字1、2、3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌上.

（1）隨機地抽取一張，求抽到奇數的概率；

（2）隨機地抽取一張作為十位上的數字（不放回），再抽取一張作為個位上的數字，恰好是“32”的概率為多少？

【剖析】本題考查了通過列舉法列出簡單隨機事件所有可能的結果，了解事件的概率.（1）隨機地抽取一張，可以理解為實驗一次，要求抽出奇數的概率，可用P（A）=[mn]（n表示所有等可能出現的結果數，m表示事件A發生可能出現的結果數.）直接解決.（2）隨機地抽取一張作為十位上的數字，再抽取一張作為個位上的數字，可以理解為實驗兩次，可通過列表、畫樹狀圖列出所有等可能的結果以及事件A發生的所有可能的結果，求出恰好是“32”的概率.一定要注意的是題目中的關鍵詞“不放回”.

【答案】（1）[23]；（2）[16].

【總結】畫樹狀圖或者列表分析是求概率的常用方法，列舉的結果看起來一目了然，清晰明了.利用列表、畫樹狀圖可以幫助我們不重復、不遺漏地列出所有等可能的結果，既直觀又條理分明.

例5 （2016·徐州）某乳品公司最新推出一款果味酸奶，共有紅棗、木瓜兩種口味.若送奶員連續三天，每天從中任選一瓶某種口味的酸奶贈送給某住戶品嘗，則該住戶收到的三瓶酸奶中，至少有兩瓶為紅棗口味的概率是多少？（請用“畫樹狀圖”的方法給出分析過程，并求出結果.）

【剖析】本題考查了通過畫樹狀圖列出簡單隨機事件所有可能的結果，了解事件的概率.題目中“若送奶員連續三天”可理解為實驗三次，因此可以借助樹狀圖列出所有等可能的結果.

可能出現的結果有8種，并且它們出現的可能性相等.至少有兩瓶為紅棗口味（記為事件A）的結果有4種，所以P（A）=[12].

【總結】當一次試驗要涉及兩個因素（兩組量，或者1組量操作兩次），并且可能出現的結果數目較多時，可以采用列表法；當一次試驗中涉及3個因素或更多因素時，通常采用畫樹狀圖不重不漏地列出所有等可能的結果.

例6 一套書共有上、中、下三冊，將它們任意擺放到書架的同一層上，這三本書從左到右或從右到左，恰好成上、中、下順序的概率是多少？

【剖析】想要把共有上、中、下三冊的一套書任意擺放到書架的同一層上，可以借助枚舉法列出所有等可能的結果.

【答案】將一套書上、中、下三冊任意擺放到書架同一層上所有可能出現的結果有：（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），（下，中，上），共有6種，它們出現的可能性相同.所有的結果中，滿足“從左到右或從右到左，恰好成上、中、下順序”（記為事件A）的結果只有2種，所以P（A）=[13].

【總結】對于本題可以直接用枚舉法列出所有可能的結果，求出概率.列表、畫樹狀圖的目的都是為了列出所有等可能的結果，有時我們也可以通過枚舉法直接列出所有的可能的結果.

好了，看了這么多典型的例題，相信同學們對“統計與概率”這個部分的題目，可以更加從容自信了吧！找到解決“統計與概率”典型題的策略與方法了嗎？

此致

敬禮

“統計與概率”解題策略與方法

2017年3月15日

（作者單位：江蘇省南京市六合區橫梁初級中學）