分式化簡求值題面面觀

袁勁松

縱觀近年的中考試卷，可以發現分式化簡求值題一直是考試的熱點，現將有關分式化簡求值的題型歸納如下，供同學們復習時參考.

一、直接運算型

例1 （2016·荊門）化簡[xx2+2x+1]÷[1-1x+1]的結果是（ ）.

A.[1x+1] B.[x+1x] C.x+1 D.x-1

【分析】先計算括號里面的分式加減，再把分式的除法轉化為分式的乘法.

解：[xx2+2x+1]÷[1-1x+1]

= [xx+12]÷[xx+1]

=[xx+12]·[x+1x]

=[1x+1].

故選 A.

【點評】本題考查分式的運算，其中主要涉及分式的加減法和分式的乘除法，分式的加減法關鍵是化異分母為同分母，而分式的乘除法關鍵是把分式的除法轉換為分式的乘法.

二、整體求值型

例2 （2016·畢節）若a2+5ab-b2=0，則[ba]-[ab]的值為 .

【分析】先根據題意得出b2-a2=5ab，再由分式的減法法則把原式進行化簡，進而可得出結論.

解：∵a2+5ab-b2=0，

∴a2-b2=-5ab，

∴[ba]-[ab]=[b2-a2ab]=[5abab]=5.

故答案為：5.

【點評】本題是分式化簡、整體代入求值的綜合題，解題的關鍵是將所求式子進行變形，轉化為b2-a2=5ab的形式.

例3 （2016·齊齊哈爾）先化簡，再求值：[1-2x]÷[x2-4x+4x2-4]-[x+4x+2]，其中x2+2x-15=0.

【分析】先按照分式計算的順序（先算乘除，再算加減）化簡分式.再根據題目的需要，靈活運用條件x2+2x-15=0，代入求值.

解：原式=[x-2x]÷[x-22x+2x-2]-[x+4x+2]

=[x-2x]·[x+2x-2]-[x+4x+2]

=[x+2x]-[x+4x+2]

=[x+22-xx+4xx+2]

=[4x2+2x]，

∵x2+2x-15=0，

∴x2+2x=15.

∴原式=[415].

【點評】如果著眼點放在x的值上，認為求出其值才能代入，那整個計算就會非常繁雜，而用整體思想導航，將x2+2x=15整體代入，便簡便了不少.

三、運算求值型

例4 （2016·咸寧）a，b互為倒數，代數式[a2+2ab+b2a+b]÷[1a+1b]的值為 .

【分析】先把第一個分式的分子因式分解，第二個分式通分相加，再把除法轉化為乘法，約分后再代入求值.

解：原式=[a+b2a+b]÷[a+bab]

=[a+b2a+b]·[aba+b]

=ab，

由a，b互為倒數可得ab=1，所以原式=1.故答案為1.

【點評】分式的混合運算，要注意運算順序，式與數有相同的混合運算順序：先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的，結果中的分子、分母要進行約分，注意最后結果要化成最簡分式或整式.再將具體數值代入求值，數字代入時不要忘了符號.

四、陷阱求值型

例5 （2016·西寧）化簡：[2xx+1]-[2x+4x2-1]÷[x+2x2-2x+1]，然后在不等式x≤2的非負整數解中選擇一個適當的數代入求值.

【分析】根據運算順序，應先算乘除，后算加減.根據除法運算法則進行計算，要用到平方差公式和完全平方公式進行分解因式，然后再算減法.對化簡結果進行代值計算時要注意x的取值，既要保證最后化簡的結果有意義，又要保證原式及運算過程中的各個分式均有意義.

解：原式=[2xx+1]-[2x+2x+1x-1]·[x-12x+2]

=[2xx+1]-[2x-2x+1]

=[2x-2x+2x+1]

=[2x+1]，

∵不等式x≤2的非負整數解是0，1，2，當x=1時分式無意義，因此x=0或2.把x=0代入，[2x+1]=2；把x=2代入，[2x+1]=[23].

【點評】當遇到分式化簡求值，尤其是考題要求你選擇一個喜歡的數代入求值時，千萬要注意字母取值的限制.重要的是所有使分母等于零的值都不能取，使除號后緊跟分式的分子等于零的值也不能取，避免進入分式無意義的“雷區”.

（作者單位：江蘇省海門市實驗初級中學）