厘清概念 掌握運算 透視考點

數(shù)與式是中考必考知識點，一般分值占中考總分10%左右，主要考查同學們對基本概念的理解和基本運算的掌握情況，現(xiàn)以2016年中考題為例，聚焦中考中的“數(shù)與式”，供同學們復習時參考.

一、考查數(shù)與式的相關概念

1.正、負數(shù)的識別.

例1 （2016·攀枝花）下列各數(shù)中，不是負數(shù)的是（ ）.

A.-2 B.3 C.[-58] D.-0.10

【分析】利用負數(shù)的定義判斷即可得到結果.

解：由負數(shù)的定義知，-2，[-58]，-0.10均為負數(shù)，而3不是負數(shù).故選B.

【點評】負數(shù)可以從以下兩個方面識別：①根據(jù)數(shù)前面的符號：非零數(shù)前面只有一個“-”號是負數(shù)，非零數(shù)前面只有一個“+”號是正數(shù)；②根據(jù)與零的大小關系：大于零的數(shù)是正數(shù)，小于零的數(shù)是負數(shù).

2.相反數(shù)、倒數(shù).

例2 （2016·永州）[-12016]的相反數(shù)的倒數(shù)是（ ）.

A.1 B.-1 C.2016 D.-2016

【分析】本題應先求相反數(shù)，再求倒數(shù).

解：[-12016]的相反數(shù)是[12016]，[12016]的倒數(shù)是2016.故選C.

【點評】求一個數(shù)的相反數(shù)，相當于改變這個數(shù)的符號，即在這個數(shù)前面加上“-”號；求一個數(shù)的倒數(shù)，即求1除以這個數(shù)的商.

3.數(shù)的開方.

例3 （2016·常德）4的平方根是（ ）.

A.2 B.-2 C.[±2] D.±2

【分析】一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2.故選D.

【點評】本題考查了求一個正數(shù)的平方根，這類題一般比較簡單，記住它們的概念是解題的前提.這類題有如下規(guī)律：非負數(shù)a的平方根是[±a]，算術平方根是[a]，立方根是[a3].

4.無理數(shù)的概念.

例4 （2016·宜黃）下列各數(shù)：1.414，[2]，[-13]，0，其中是無理數(shù)的為（ ）.

A.1.414 B.[2] C.[-13] D.0

【分析】無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，符合這個要求的就是無理數(shù)，當然需要化簡或計算的要看化簡以后的結果.

解：因為1.414和[-13]都是分數(shù)，0是有理數(shù)，故只有[2]是無理數(shù).故選擇B.

【點評】常見的無理數(shù)有以下幾種形式：①開方開不盡的數(shù)，如[2]，[3]，[-3]，[33]；②特定意義的數(shù)，如圓周率π，tan30°；③特定結構的數(shù)，如0.1010010001….特別注意像[22]，[π3]等含開方開不盡的數(shù)或含π的數(shù)不是分數(shù)而是無理數(shù).

5.科學記數(shù)法.

例5 （2016·達州）在“十二五”期間，達州市經(jīng)濟保持穩(wěn)步增長，地區(qū)生產(chǎn)總值約由819億元增加到1351億元，年均增長約10%，將1351億元用科學記數(shù)法表示應為（ ）.

A.1.351×1011 B.13.51×1012

C.1.351×1013 D.0.1351×1012

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤[a]<10，n為整數(shù).先數(shù)出這個數(shù)共有多少數(shù)位，再根據(jù)科學記數(shù)法的定義確定答案.

解：把1351億寫成135100000000，它的整數(shù)位有12位，此時a=1.351，n=12-1=11.故選A.

【點評】科學記數(shù)法的表示方法：a值的確定：1≤a<10；n值的確定：①當原數(shù)大于或等于10時，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；②當原數(shù)小于1時，n是負整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)左起第一位非零數(shù)字前所有零的個數(shù)（含小數(shù)點前的零）；③有數(shù)字單位的科學記數(shù)法，先把數(shù)字單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字表示，再用科學記數(shù)法表示.

6.實數(shù)與數(shù)軸.

例6 （2016·北京）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（ ）.

A.a>-2 B.a<-3

C.a>-b D.a<-b

【分析】觀察數(shù)軸得到a，b的正負性及離原點的距離，從而解決問題.

解：由數(shù)軸可知，-3

誤；又知1

-2<-b<-1，即-b在-2與-1之間，所以a<

-b.故選D.

【點評】觀察數(shù)軸上的數(shù)應從兩方面入手：①數(shù)的正負性，數(shù)在原點左側(cè)則負，數(shù)在原點右側(cè)則正；②數(shù)離原點的距離大小.另外利用數(shù)軸還可以比較有理數(shù)的大小：數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù).由于引進了數(shù)軸，我們把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”與“形”結合起來，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.

7.整式的有關概念.

例7 （2016·銅仁）單項式[πr22]的系數(shù)是（ ）.

A.[12] B.π C.2 D.[π2]

【分析】直接利用“單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)”解題.

解：單項式[πr22]的系數(shù)是：[π2].故選D.

【點評】單項式的系數(shù)包括它前面的符號，且只與數(shù)字因數(shù)有關.另外單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假分數(shù).

8.同類項.

例8 （2016·常德）若-x3ya與xby是同類項，則a+b的值為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

【分析】根據(jù)同類項的定義，即相同字母的指數(shù)相同，可分別求出a、b的值.

解：由同類項的定義，得a=1，b=3，a+b=4.故選C.

【點評】所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相等的項叫做同類項，據(jù)此列出方程（組）即可解決這類問題.

9.分式的有關概念.

例9 （2016·北京）如果分式[2x-1]有意義，那么x的取值范圍是 .

【分析】分式有意義，必須使分母不為零，由此可得x的取值范圍.

解：由分式的意義，知x-1≠0，解得x≠1.故答案為x≠1.

【點評】分式是否有意義，只取決于分式的分母，與分式的分子無關.

例10 （2016·湘潭）若分式[x-1x+1]的值為0，則x=（ ）.

A.-1 B.1 C.±1 D.0

【分析】根據(jù)分式的值為0的條件“分子為0，分母不等于0”，列出方程和不等式求解.

解：由題意可知：x-1=0，得x=1.由x+1≠0，得x≠-1，所以x=1.故選B.

【點評】此類問題容易出錯的地方是忽視分式的值為0的前提條件：分式有意義，即分母不等于0.

10.二次根式的有關概念.

例11 （2016·白銀）下列根式中是最簡二次根式的是（ ）.

A.[23] B.[3] C.[9] D.[12]

【分析】最簡二次根式滿足下面的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.根據(jù)這兩個條件進行辨別.

解：A選項：[23]不是最簡二次根式，因為根號中含有分母；B選項：[3]是最簡二次根式；C選項：[9]不是最簡二次根式，因為根號中含有開得盡的因數(shù)；D選項：[12]不是最簡二次根式，因為根號中含有開得盡的因數(shù).故選B.

【點評】判斷最簡二次根式時，特別要注意分母中不能含有根號哦！

11.二次根式有意義的條件.

例12 （2016·西寧）若式子[x+1]有意義，則x的取值范圍是 .

【分析】二次根式有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)，然后解不等式即可.

解：∵二次根式[x+1]有意義，∴x+1≥0，∴x≥-1.故答案為x≥-1.

【點評】解決這類問題的關鍵是由被開方數(shù)是非負數(shù)得出不等式，解這個不等式即可.對于分式形式的代數(shù)式，同學們還要注意所取的字母的值不能使分母為零.

二、考查數(shù)與式的運算能力

1.冪的運算.

例13 （2016·茂名）下列各式計算正確的是（ ）.

A.a2·a3=a6 B.（a2）3=a5

C.a2+3a2=4a4 D.a4÷a2=a2

【分析】分別從“同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、合并同類項的法則、同底數(shù)冪的除法法則”逐個驗證各選項的正確性.

解：a2·a3=a2+3=a5；（a2）3=a2×3=a6；a2+3a2=（1+3）a2=4a2；a4÷a2=a4-2=a2.故選擇D.

【點評】冪的運算是整式運算的基礎，需要熟練掌握，注意不要混淆相關知識，尤其是冪的乘方不要與同底數(shù)冪的乘法混淆，冪的乘方運算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算，而同底數(shù)冪的乘法運算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算.

2.無理數(shù)的估算.

例14 （2016·畢節(jié)）估計[6+1]的值在（ ）.

A.2到3之間 B.3到4之間

C.4到5之間 D.5到6之間

【分析】先找到緊挨6的兩個完全平方數(shù)，再判斷[6]夾在哪兩個正整數(shù)之間，從而判斷[6+1]夾在哪兩個正整數(shù)之間.

解：∵4<6<9，∴2<[6]<3，∴3<[6]+1<4.故選B.

【點評】本題主要考查對[a]的估算能力，解決此類問題的關鍵是確定與a相鄰的兩個平方數(shù)，即比a大和比a小，且同時最接近a的平方數(shù)，然后分別求出這些平方數(shù)的算術平方根，便可知[a]在哪兩個整數(shù)之間，從而得到[a±b]（b為整數(shù)）的范圍.

3.因式分解.

例15 因式分解：（1）（2016·襄陽）2a2-2= ；

（2）（2016·深圳）a2b+2ab2+b3= .

【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式；（2）先提取公因式b，剩下（a2+2ab+b2）正好滿足完全平方公式.

解：（1）2（a+1）（a-1）；（2）b（a+b）2.

【點評】因式分解問題應首先考慮是否能提公因式，找公因式應從系數(shù)、字母和字母的指數(shù)三個方面分別考慮.沒有公因式或提公因式后，再根據(jù)項數(shù)考慮公式法，兩項則判定是否可用平方差公式，三項則判定是否可用完全平方公式，三項以上則應考慮使用分組分解法.

4.非負數(shù)性質(zhì)的應用.

例16 （2016·自貢）若[a-1]+b2-4b+4=0，則ab的值等于（ ）.

A.-2 B.0 C.1 D.2

【分析】[a-1]+b2-4b+4=0可變形為[a-1]+（b-2）2=0，根據(jù)非負數(shù)的和為零可得a、b的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘法得到答案.

解：由[a-1]+b2-4b+4=0可得：[a-1]+（b-2）2=0，∴a-1=0，b-2=0，解得a=1，b=2，∴ab=2.故選D.

【點評】初中階段學習了三種非負數(shù)：①[a]≥0；②a2≥0；③[a]≥0.如果出現(xiàn)幾個非負數(shù)的和為零，則說明這幾個非負數(shù)的值都等于0，此時可得一個方程組，解方程組即可求得未知數(shù)的值.

5.實數(shù)的運算.

例17 （2016·海南）計算：6÷（-3）+[4]-8×2-2.

【分析】先計算有理數(shù)除法、算術平方根、負整數(shù)指數(shù)冪及有理數(shù)乘法，最后再加減.

解：原式=-2+2-8×[14]=-2+2-2=-2.

【點評】實數(shù)的計算題常常將零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、倒數(shù)、絕對值、算術平方根、特殊角的三角函數(shù)值、冪的運算性質(zhì)等集于一題，綜合考查運算能力，解題時需記住以下規(guī)律：①對于一個非零數(shù)a，有a0=1，需要注意a必須是一個非零數(shù)，否則沒有意義；②對于一個數(shù)的負整數(shù)指數(shù)冪的求法公式：a-n=[1an]，應注意a≠0，n為正整數(shù).

6.整式的運算.

例18 （2016·烏魯木齊）先化簡，再求值：（x+2）（x-2）+（2x-1）2-4x（x-1），其中x=[23].

【分析】先利用乘法公式和單項式與多項式乘法法則進行化簡，再合并同類項，最后代入數(shù)值進行計算.

解：原式=x2-4+（4x2-4x+1）-（4x2-4x）=x2-4+4x2-4x+1-4x2+4x=x2-3.當x=[23]時，原式=（[23]）2-3=12-3=9.

【點評】整式的化簡求值問題是中考的必考內(nèi)容，主要涉及整式的乘除、乘法公式和整式的加減，同學們只要能熟練掌握有關法則及公式就可以解決此類問題.

7.分式與二次根式的運算.

例19 （2016·恩施）先化簡，再求值：[a-32a-4]÷[a+2-5a-2]，其中a=[5-3].

【分析】先確定分式的運算順序：先算小括號內(nèi)的，再進行除法運算，最后代入求值.

解：原式=[a-32a-2]÷[a2-4a-2-5a-2]=[a-32a-2]÷[a2-9a-2]=[a-32a-2]·[a-2a+3a-3]=[12a+3].當a=[5-3]時，原式=[125]=[510].

【點評】分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序：先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的.另外分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算.

（作者單位：江蘇省海門市實驗初級中學）