對《植樹問題》基本數學模型的研究

應方園

摘 要：在實踐中，眾多教師對“植樹問題”感到難教，多數學生感覺難學。主要問題有：學生對三種情況的理解不深刻，尤其是對什么相當于“點”、什么相當于“段”弄不清楚。學生不能根據植樹中的間隔情況對應解決生活中其他的間隔問題。

關鍵詞：植樹問題；間隔排列；自主探究

一、我們的實踐

第一課時：用直觀圖理解“間隔排列”，學會用一一對應的方法來分析兩個量之間的數量關系。

1.通過重復畫三角形和圓形，讓學生理解像一個三角形隔著一個圓形的排列就叫做間隔排列。

2.用情境圖進一步鞏固“間隔排列和一一對應分析方法”，感悟出：首尾相同，兩種物體數量相差1；首尾不同，兩種物體數量相等。

第二課時：研究具體的植樹問題，得出棵數與間隔數是“間隔排列”的，并能用“一一對應”的方法分析它們之間的數量關系。

提供一道“數字較小”的開放題：例1：學校計劃在一條長20米小路的一邊種樹，如果每隔5米種一棵樹，需幾棵樹呢？通過讓學生畫圖，提供直觀的研究素材，并提示思考方向，重點溝通“三種類型”的聯系。

二、怎一個難字了得

《植樹問題》是一個經典的問題。在實踐中，眾多教師感到“植樹問題”難教，多數學生感覺難學。這是什么原因呢？

老師難教在哪里？

1.“學生一做作業就悶了！”

2.“植樹問題到底要教什么？”

學生難學在哪里？

1.學生對三種情況的理解不深刻，對于其他間隔問題不能進行數學化的抽象，尤其是對什么相當于“點”、什么相當于“段”弄不清楚。

2.學生不能根據植樹中的間隔情況對應解決生活中其他的間隔問題。對于什么時候加1？什么時候減1？什么時候既不加又不減混淆不清。

3.學生只會機械使用三種方法進行計算，多數學生并不會數學分析，而是靠死板記憶，機械模仿。

三、我們上下而求索

1.版本A：用一一對應思想解決植樹問題

環節一：自主探究

提供一道“數字較小”的開放題：元旦快到了，大家一起裝扮教室，在一條長20分米的黑板邊上，掛著燈籠和彩帶，每5分米長的彩帶掛1個燈籠。可以掛幾個燈籠？

（1）讓學生畫圖，再列式計算，反饋：你是怎么掛的？明確什么和什么東西是一一間隔排列？是怎么排列的？再說說每個算式表示的含義。

（2）引導溝通三種掛法之間的聯系。①這幾種類型又有什么相同的地方？發現段數相同，可用“總長÷每段彩帶長度=彩帶段數”計算出段數。②這幾種方法有什么不同的地方呢？讓學生明白：掛的方法不同，兩端都掛，首尾都是燈籠、燈籠比彩帶多1。兩端都不掛，首尾都是彩帶，彩帶比燈籠多1。首尾不同，數量相等。

環節二：溝通本質

思考：生活中還有哪些是一一間隔現象，什么可以看作樹，什么看作段？

環節三：應用拓展

圍繞一組關于體驗高鐵時代的實際問題，讓學生思考三個問題：這些問題都有什么聯系？意在讓學生明白不管是車廂長度問題還是電線桿、時間問題都有著相同的數學結構-間隔排列。

2.版本B：用除法運算解決植樹問題

環節一：除法運算引入

出示題1：“20米，每5米分一段，共分幾段？”

孩子一下就列出了算式：20÷5=4（段）。

師：“為什么用除法來做？”

幫助他們復習用除法算式的最根本意義是平均分。

環節二：制造認知沖突

出示題2：“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”

大部分孩子的方法是20÷5=4（棵），只有一小部分孩子有不同的想法，認為還要再加1，是5棵，因為在0米時要種一棵。

環節三：聚焦問題本質

追問：“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”

學生通過對問題的思考，區分出平均分是一段一段分，而種樹是種在段與段之間兩端的點上。

追問：“點與段的差別在哪里？”“點多，還是段多？”“怎么多法？”

為了幫助學生理解這兩道題不同之處的實質就必須抓住點與段的區別，學生只要弄清楚這兩個概念，那么就清楚了植樹問題是一個怎樣的問題。學生在老師的啟發下，學生漸漸明白：棵（點）=1+平均分，植樹是植在點上的。

環節四：促進學生內化

問題1：如果把20米改成50米呢，改成100米，200米呢？你還能解決嗎？“不管換成多遠，方法都是一樣的。”

問題2：“除了植樹人把數種在點上，還有什么人把什么也放在平均分的點上？”

環節五：積極變式遷移

情境一：一頭不種。當路的一端有一幢房子擋住了，五棵樹怎么種呢？教師與學生互動，怎么去解決碰到的問題，有學生說種在旁邊，拆房子，不種。最后的結論是，帶回一棵樹，即一頭不種-1。

情境二：兩頭不種。當路的兩端都有房子時，則帶回兩棵樹，即兩頭不種-2。

教師追問：“除了種樹以外，什么情況下可以一頭不種，什么情況下可以兩頭不種？”通過再一次的舉例，引導學生知道學與用的區別，體會生活中像植樹問題用在點上的例子很多，內化什么是樹，樹是種在點上。

參考文獻：

[1]吳正憲.聽吳正憲老師上課[M].華東師范大學出版社，2008.

[2]伊麗莎白·布魯瑞克斯.好老師因材施教的12個方法[M].中國青年出版社，2010.

編輯 孫玲娟