關于曲線拐點定義的比較分析

江蘇省泰興中等專業學校 朱 芹

關于曲線拐點定義的比較分析

江蘇省泰興中等專業學校 朱 芹

對拐點的幾種定義進行了比較分析。

拐點；定義；導數；凹凸性

曲線的拐點是微積分中的一個重要概念，但許多教材中關于拐點的定義并不一致，有些文獻對此觀點不一，分歧還較大，本文對拐點的幾種定義逐一進行辨析。

一、拐點的定義

1．教材中關于拐點的第一種定義

同濟大學應用數學系主編《高等數學》（第五版）：“一般地，設在區間I上連續，是I的內點，如果曲線在經過點時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱是這曲線的拐點。”

上述兩個定義是一致的，都著重于拐點的幾何特性，即在拐點左右近旁一側為凹，另一側為凸，而對拐點處本身只要求連續，對其可導性、是否存在切線并不作要求。

2．教材中關于拐點的第二種定義

3．教材中關于拐點的第三種定義

在第三種定義中，一個點是拐點的必要條件是函數在該點處必須可導（切線存在，但不是垂直切線）。

焦曙光所著《拐點的定義及拐點與極端點的不重合性》一文中沿用了《辭海》（1989年版）中拐點的定義：“拐點，亦稱扭轉點。當光滑曲線在其上一點P的附近落在曲線在該點的切線兩旁時，稱點P為曲線的拐點。曲線在拐點的一旁為凹，在另一旁為凸?！痹谶@個定義中“光滑曲線”成為曲線拐點存在的必要條件，由此本文認定拐點的第一種定義不嚴密，并修改為“光滑曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點”。

4．拐點三種定義的比較分析

以上拐點的三種定義，對拐點都有共性認識：（1）曲線在拐點處連續；（2）拐點是曲線凹凸區間的分界點；（3）函數在拐點的某個去心鄰域內可導。分歧之處在于對拐點這一點的條件限制各不相同：①不要求拐點處存在切線；②在拐點處必須存在切線，即拐點處導數有限或為無窮大；③函數在拐點處必須可導。自①至③對拐點處的限制條件逐步增強。

這三種定義見諸于眾多的數學教材教參中，呈混亂之態，讓學生在對有關命題進行判斷時感到無所適從，如“函數的極值點一定不是該函數曲線的拐點，拐點也一定不是函數的極值點”，不同定義背景下該命題的真值是不一樣的。即便在同一本教參中，也有對拐點定義認識不到位而造成結論的矛盾，趙振海所著《關于拐點的定義》中列舉了《新編高等數學題解》（上冊）中的一個例子：“判斷：①拐點與極值點不能在同一點取到（√）；②若為拐點，則在處曲線必有切線（×）?！奔热徽J定②為假命題，應該依據的是拐點的第一種定義，在此定義下①也應該是假命題。

拐點定義的混亂之態由此可見一斑，對拐點建立統一的定義顯得十分必要。當然，以上三種定義并不一定要如作者焦曙光所述去做孰對孰錯之分，概念的不同主要源于產生的背景和原因各異。本文以為第一種定義很好地刻畫了拐點的幾何特性，至于拐點處是否存在有限導數或導數為無窮大，只是描述了拐點橫坐標的數值分析特性，而拐點在曲線描繪中所起的關鍵作用還在于其是“凹凸區間分界點”這一幾何特性，從這個角度看采用第一種定義為宜，并可簡述為“連續曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點”。

依據這個定義，可以得到關于拐點的幾個結論：

1.曲線在拐點處可能沒有切線，曲線的拐點和極值點可能是同一點；

2.若曲線在某點存在切線，則該點不可能同為拐點和極值點。

[1]同濟大學應用數學系．高等數學（上冊，第五版）[M]．北京：高等教育出版社，2002：149．

[3]華東師范大學．數學分析（上）[M]．北京：高等教育出版社，1990．

[4]B．A．卓里奇．數學分析（第一卷，第4版）[M]．北京：高等教育出版社,2006：222．

[5]劉玉璉，傅沛仁，林玎等．數學分析講義（上冊，第四版）[M]．北京：高等教育出版社，2003：265．

[6]焦曙光．拐點的定義及拐點與極值點的不重合性[J]．工科數學，2002（3）：87-89．

[7]趙振海．關于拐點的定義[J]．高等數學研究，2002（3）：25-26．

[8]梁開福．極值點與拐點關系的研究[J]．數學理論與應用，1999（4）：30-31．