數形結合，提升數學解題能力

江蘇省高郵市第二中學 沐椿昌

研究表明，大多數人的右腦較為發達，圖象記憶的效率相比文字性記憶的效率更高，印象更加深刻，不容易遺忘。高中數學中有好多文字性的概念和相關題目，在教學過程中，面對這些枯燥的文字概念，學生在做題時會手足無措，所以我們要盡可能地將其轉化為對應的數學圖象，以便學生更好地理解和記憶。

一、相互轉化，發展抽象思維

在諸多數學題目中，“數”與 “形”相互結合是較為常用的方法，同時還涉及它們之間的轉化，把題目中數字性的描述轉化為圖形的形式，有助于學生理解題目中所給條件之間的關系及本質，準確把握題目的命脈，逐漸培養并發展學生的抽象思維。反之，也可將題目中圖形類的條件轉化為對應的數量關系，其效果大同小異。

高一數學側重于數量轉化為對應的圖形，學生剛步入高中，沒有抽象思維這一概念，因此，培養學生的抽象思維是教學計劃工作的重點之一。以高中必修一第一章《集合與函數概念》為例，《集合》部分涉及很多數量轉化為圖形類的題型，例如：三年級（1）班共有42人，18人選了微機小組，15人選了象棋小組，還有12人兩個小組都沒參加，問兩個小組都參加的有多少人？好多同學一看到此題就懵了，因為搞不清他們之間的數量關系。我在講解時，首先引導同學們利用圖形的方法進行分析，畫個大圈并在圈外標上42，其次在圈內畫上兩個小圈并有部分重合，分別標注18和15，而后在大圈內兩個小圈外寫上12。至此，問題迎刃而解，數量關系一目了然，很容易就求出了問題的答案。此題雖不復雜，列解方程也能求出答案，但通過該方法能培養同學們數形轉換的意識，并由淺入深，當遇到更加復雜的題目時，用類似的方法解題效率會更高。

解數學題目的關鍵是抓住題目的本質，遇到類似的題目可以利用數形轉化的思想進行解題，能快速理清已知條件與未知條件之間的數量關系，從而準確解答。在講解集合這部分習題時，我們要正確地引導同學們將數量轉化為所對應的圖形，力求讓學生在初級階段形成抽象思維，為之后的學習打下堅實的基礎。

二、對應表征，滲透融合思想

所謂真正掌握數形結合思想，不僅要實現從“數”轉化為對應的“形”，還需利用逆向思維從“形”轉化為對應的“數”，在整個過程中，我們要從培養學生數形結合意識逐漸過渡到幫助學生建立并增強這一意識，在講解相關題目時，要特別注重數與形之間的對應表征，正確地引導學生，不斷給學生滲透融合思想。

高中數學中，函數也是一大難點，在判斷函數問題解的個數時，如果能實現數形之間的雙向轉化，在解相關題目時就會取得事半功倍的效果。例如必修四第一章《三角函數》中部分習題涉及求解的個數，如：方程log2x=sinx解的個數為（ ）。A.1；B.2；C.3；D.4。如果利用常規的解方程的方法，很難求出結果，利用圖象法很快就能求出結果，將方程的根的個數問題看作是兩個函數圖象交點的個數，并從題目所給的已知條件入手。首先讓同學們回憶了對數函數的相關知識點，并且在坐標系中作出其圖象，過（0,1）點，然后繪制出正弦函數圖象，標出特殊點的相對位置，答案一目了然。為了達到雙向轉化的目的，我將題目中的已知條件拆分成兩個類似的函數f（x）1=lgx，f（x）2=cos2x，在黑板上畫出對應的圖象（未標注函數關系式），讓同學們寫出其函數表達式，當兩個函數相等時，組成新的函數，并求新函數解的個數。

在平時的練習中，我們要適當增加“數”與“形”之間雙向轉換的題型，讓學生逐步掌握這一方法，提高解題能力。通過這樣的方法，在解題時，不僅鞏固了之前所學的知識點，還將其與現階段的所學進行了結合。在今后教學中，我們需要讓同學們真正了解數形之間的相對關系。

三、分析錯誤，強化邏輯能力

“錯誤常常是正確的先導”。有效的錯誤分析是通向正確的必經之路，學生在做數形結合類習題時犯錯是不可避免的，正確地進行錯因分析勝過做多道數學題，由此，分析并糾正涉及數形結合問題的錯誤就顯得尤為重要。在給學生進行習題講解時，需要有意識地培養學生的邏輯思維能力，并不斷強化。

在高中數學中，常常涉及解不等式的題目，而且往往是學生易錯的題目。以高中數學選修1-1第二章第三小節《拋物線》相關題目為例：不等式的解集是？多數同學出錯的原因是沒有考慮定義域，直接上手做，就導致了錯誤。在講解該題目時，我先帶領同學們進行了仔細分析，梳理出整體的做題思路，然后按步驟進行講解，首先求出函數的定義域：x≠0，令f（x）=x，g（x）=，建立直角坐標系，

有效地分析數形結合類習題解題時所出現的錯誤，能使學生的思維更加縝密，加深對于數形結合思想在實際題目中的理解，從而提高學生解決實際問題的能力。我們要讓學生在分析錯因的過程中不斷提高，并將數形結合思想提升到新的高度，使其貫穿于整個高中數學學習過程中。

總而言之，要想提高學生的數學解題能力，就要注重數形結合意識的培養，并不斷使其發展成為一種思想，并在做題過程中不斷強化該思想，做到靈活、巧妙地應用。因此，我們需要以此為基礎，讓學生系統地學習并掌握數形結合思想，提高學生的數學解題能力。