破解導數零點難求問題的道與術

●汪正文 (丹陽市教師發展中心 江蘇丹陽 212300)

破解導數零點難求問題的道與術

●汪正文 (丹陽市教師發展中心 江蘇丹陽 212300)

導數作為銜接初等數學與高等代數的紐帶,是研究函數性質、培養學生探究能力的重要工具,更是歷年高考的難點和熱點,而導數零點的求解是研究函數性質的前提.文章通過對近幾年數學高考導數零點問題的深入探究,給出了導數零點中難求問題的破解之道.

零點;設而不求;等價轉化

在近幾年的數學高考中,函數與導數備受命題專家的青睞,且多以壓軸題的形式出現,主要通過導數研究函數的性質求解,但求導后,導函數形式往往呈現超越式或高次形式,出現導數零點求不出或符號難以判定的情況,從而使問題的求解陷入困境.筆者試圖以高考題為例探討破解導數零點難求問題的道與術.

1 特值驗根，證明唯一

導函數存在零點,但令導函數為0后,出現了超越方程,若直接求解比較困難,則可先用特殊值試探出導函數方程的一個根,再通過二次求導研究其單調性,并證明其是唯一的,從而使問題得解.

1)求直線l的方程；

2)證明：除切點(1,0)之外,曲線C在直線l的下方.

(2013年北京市數學高考理科試題第18題)

1)直線l的方程為y=x-1，過程略.

因此，除切點之外,曲線C在直線l的下方.

點評 在第2)小題中,令g′(x)=0,得φ(x)=0是超越方程,零點不易求解,但通過觀察可知x=1是其零點,再對φ(x)二次求導,知φ′(x)為正,即g(x)為單調函數,說明x=1是g′(x)的唯一零點,從而求出g(x)的最小值.一般地,當導數式含有lnx時,可試根x=1或x=e；當導數式中含有ex時,可試根x=1或x=0.

2 虛設零點，代換化簡

導函數零點存在的前提下,當零點式子非常繁瑣或無法求解時,可考慮虛設零點x0,然后對f′(x0)=0進行合理地變形與代換,將超越式化為普通式,從而達到化簡f(x0)的目的.

解 三次函數f(x)有3個零點,即f(x)的極大值與極小值異號.由f′(x)=3x2+2x+a,可令f′(x)=0,求得Δ=4(1-3a),接著分類討論如下：

3t2+2t+a=0,

即

于是f(x1)·f(x2)=

點評 本題零點雖然可求,但若將x1,x2的表達式直接代入f(x1),f(x2),其運算量之大導致求解無法進行.通過虛設零點,利用3t2+2t+a=0進行合理代換與降次,從而達到化簡之功效.這種“設而不求”的思想可成功規避零點的繁瑣求解.

例3 設函數f(x)=e2x-alnx.

1)討論f(x)的導函數f′(x)的零點個數；

(2015年全國數學高考新課標卷文科第21題)

當x∈(0,x0)時,f′(x)<0,從而f(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0,從而f(x)單調遞增,從而當x=x0時,f(x)min=f(x0).又

點評 導數含參且存在零點,但無法求出時,可通過虛設零點x0,研究f′(x)的單調性,判斷出f(x0)是極大值還是極小值,再利用式子f′(x0)=0進行變形與代換,從而將超越式化為普通式,最后利用基本不等式放縮求解.

3 等價轉化，強化命題

當直接構造函數求導較為繁瑣、導函數零點無法求出、虛設零點也難以奏效時,可嘗試將目標式等價重組.構造2個相對簡單且易于求出導數零點的函數g(x)和h(x),通過證明其加強命題g(x)min>h(x)max,從而規避零點,使問題得解.

1)求a,b;

2)證明:f(x)>1.

(2014年全國數學高考課標卷理科試題第21題)

1)a=1,b=2,過程略.

設函數g(x)=xlnx,則

g′(x)=lnx+1,

h′(x)=e-x(1-x),

當x∈(0,1)時,h′(x)>0,從而h(x)單調遞增;當x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,從而h(x)單調遞減,故當x=1時,

因此，g(x)min≥h(x)max,又因為當g(x)和h(x)取得最值時,自變量x的取值不同,所以當x>0時,g(x)>h(x),亦即f(x)>1.

4 分類討論，分解命題

當整體直接證明較為困難時,可借助某些特殊點將定義域拆分成幾個部分,再分情況研究,其中一部分顯然成立,另一部分采用放縮的技巧,構造出可求導數零點的函數.

1)求k的值；

2)求f(x)的單調區間；

3)設g(x)=xf′(x),其中f′(x)為f(x)的導函數，證明:對任意x>0,g(x)<1+e-2.

(2012年山東省數學高考文科試題第21題)

1)k=1，過程略.2)略.

3)證明 當x≥1時，

當01,且

設F(x)=1-xlnx-x,其中x∈(0,1),則

F′(x)=-(lnx+2),

當x∈(0,e-2)時,F′(x)>0,從而F(x)單調遞增；當x∈(e-2,1)時,F′(x)<0,從而F(x)單調遞減,因此當x=e-2時,

F(x)max=F(e-2)=1+e-2,

故

g(x)

綜上所述,對任意x>0,g(x)<1+e-2.

點評 當x≥1時,顯然成立,當01,將g(x)放縮成一個較為簡單的函數F(x)=1-xlnx-x來研究,從而將零點轉移,其中不等式放縮也是本題的一個難點,思維跨度較大.當然該題也可采用前3種途徑求解.

5 多次求導，判定正負

導函數呈超越式,本身沒有零點,但可通過研究其二階導數,乃至三階導數來判斷其正負,從而確定原函數的單調性.

(2013年四川省數學高考理科試題第10題)

解 因為y=sinx0∈[-1,1],而f(x)≥0,f(f(y0))=y0,所以y0∈[0,1].又f(x)在定義域內是增函數,若f(y0)>y0,則f(f(y0))>f(y0)>y0與f(f(y0))=y0矛盾.同理,f(y0)

a=ex+x-x2.

令g(x)=ex+x-x2,則

g′(x)=ex+1-2x,

g"(x)=ex-2,

因此當x∈(0,ln2)時,g″(x)<0,從而g′(x)單調遞減；當(ln2,1)時,g″(x)>0,從而g′(x)單調遞增,故

g′(x)min=g′(ln2)=3-2ln2>0，即g(x)在[0,1]上單調遞增.又g(0)=1,g(1)=e,從而g(x)∈[1,e],于是a的取值范圍是1≤a≤e.

點評 導數g′(x)本身沒有零點,通過二次求導判斷g′(x)符號恒正,從而判定了g(x)的單調性,但之前又無法直觀判斷零點是否存在,若要一味求解,則只能無功而返.當然本題的另一個難點是如何將問題轉化為a=ex+x-x2在[0,1]上有解問題.

導數是研究函數性質的重要工具,而導數零點的求解是研究函數性質的前提.本文所涉及到導數隱零點問題的破解之術也是導數教學的重難點,應熟練掌握并能靈活運用,這樣才能更好地發揮導數的功能.

[1] 李斌.怎樣解決導數零點不可求問題[J].高中數學教與學,2015(5):22-24.

2016-10-13；

2016-11-16作者簡介：汪正文(1975-),安徽安慶人,中學高級教師.研究方向：數學教育.

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