追求自然生長、思維流暢的課堂教學

●詹高晟(列東中學 福建三明 365000)

追求自然生長、思維流暢的課堂教學

●詹高晟(列東中學 福建三明 365000)

文章通過對課例“因式分解”的展示與評析，引發如何優化課堂教學的思考.要優化課堂教學，應吃透教材，對教材進行適當處理，做到“信奉而不唯是，遵循而有所立”；還應在教學中基于知識的自然生長，設計思維流暢的教學環節，引導學生自主完成知識的建構.

課堂教學；教材處理；自然生長；思維流暢

在一次市級學科帶頭人跟崗實踐中，實踐導師開設的“因式分解”(北師大版《數學》八年級下冊第4.1節)教學展示課得到了聽課教師的好評，課后大家就這節課的教學展開了深入的討論，也引發筆者進一步思考，現整理成文，與同行交流.

1 教學內容

教材安排如下4個環節來展開教學：

環節1 提出問題“993-99能被100整除嗎”，并給出小明的做法(如圖1所示),指出解決問題的關鍵是把一個整數化成幾個數的積的形式，然后讓學生類比小明的做法，嘗試把a3-a化成幾個整式的乘積的形式，即a3-a=a(a+1)(a-1).

圖1

環節2 觀察如圖2和圖3所示的2個拼圖過程，寫出相應的關系式，拼圖前后的面積不變，讓學生從幾何角度體會因式分解的意義.

圖2

圖3

環節3 觀察上述情境中得到的3個式子：a3-a=a(a+1)(a-1)，ma+mb+mc=m(a+b+c),x2+2x+1=(x+1)2,引導學生發現他們的共同特點，歸納獲得因式分解的意義.

環節4 安排如下的“做一做”，通過具體例子，使學生體會因式分解與整式乘法的關系：因式分解是整式乘法的逆變形.

做一做：

1.計算下列各式：

1) 3x(x-1)=________;

2)m(a+b-1)=________;

3) (m+4)(m-4)=________；

4) (y-3)2=________.

2.根據上面的算式進行因式分解：

1) 3x2-3x=( )( )；

2)ma+mb-m=( )( )；

3)m2-16=( )( )；

4)y2-6y+9=( )( ).

2 教學過程簡錄及評析

片斷1 聚焦引言，直擊課題

上課伊始，教師告訴學生從本節課開始要學習新的一章“因式分解”.

師：請同學們想一想，按照學習新知的一般思路，我們應該去研究因式分解的哪些內容？

生1：因式分解的概念、計算和應用.

教師肯定學生的回答，請學生翻看教材的目錄，明確本章所要研究的主要內容是因式分解的概念和因式分解的方法，并告訴學生因式分解是后面學習分式化簡等內容的重要基礎.

接著，教師讓學生閱讀教材的章引言和觀察章前主題圖，進一步明確本章的學習目標，進而提出問題：為什么主題圖中把對開的2輛列車分別起名為“因式分解號”和“整式乘法號”？隨后指出通過本節新課的學習就能解決這一問題，點明本節課要研究的主要內容是因式分解的概念.

評注 本節課是“因式分解”整個章教學的起始課.因式分解的概念是本節課的教學重點，教師不但關注因式分解概念的教學，還非常注重發揮“章引言”的教學功能.通過翻看教材目錄和指導學生閱讀章引言，幫助他們了解本章的主要內容，熟悉本章概貌，初步把握本節課在整章的地位與作用，以防學生“只見樹木，不見森林”，讓學生在學習之初就能看到“森林”，弄清學習的脈絡.同時，主題圖展示的2輛對開的列車，直觀形象地反映出因式分解和整式乘法間的關系，激發學生的學習興趣和求知欲望，讓學生在“憤悱”狀態下進入新知探究.

片斷2 類比探究，引出概念

教師提出問題“993-99能被100整除嗎？”并給出小明的做法，然后引導學生明確每一步做法的依據，并提出問題：解決這一問題的關鍵是什么？

生2：把一個數式分解成幾個數的積的形式.

教師順勢回顧因數分解的概念：把一個整數分解成幾個整數(1除外)相乘的形式叫做因數分解.

師：類似地，能否把a3-a化成幾個整式乘積的形式？

先由學生獨立思考，再共同交流得到a3-a=a(a+1)(a-1).

師：這種變形與因數分解類似，給它取名為因式分解，你能模仿因數分解的概念給因式分解下個定義嗎？

生3：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解.

師：很好，請大家找一找這個定義中的關鍵詞.

生4：多項式、整式、積.

評注 這里通過“判斷993-99能否被100整除”這一問題的解決，自然地提出因數分解的概念，避免了“什么叫因數分解”這種空洞的提問，借助具體問題把抽象的概念具體化，學生易于理解，效果很好.接著結合具體例子，通過類比，從數式的分解到多項式的分解，由學生自主歸納出因式分解的概念.這一過程讓學生去思考和總結，自主經歷新知的探究過程，因式分解概念的引出水到渠成，“學生是主體”這一理念得到充分體現.隨后又由學生自己去找出概念中的關鍵詞，找關鍵詞的過程就是對概念深化認識的過程，找到了關鍵詞，對因式分解意義的理解也就上了一個臺階.通過探究得到的概念，才會理解深刻，記憶牢固.

片斷3 暴露思維，合作解疑

因式分解的概念形成后，教師安排如下練習：

練習1 下列等式中，從左到右的變形哪些是因式分解？

1) (a+b)(a-b)=a2-b2；

3) 4x2+4x+1=4x(x+1)+1；

4) 4x2+4x+1=(2x+1)2；

6) 12a2b3c=2a2×2b3×3c；

7) (3-x)(2-x)=(x-2)(x-3).

評注 對于因式分解的概念，學生找到了其中的關鍵詞，是否就真正理解了呢？這組辨析題是最好的試金石.觀察學生的解題表現，可以發現他們對概念并沒有完全弄懂，還沒有真正悟透.理解“積的形式”這幾個字，對于不少學生來說并不簡單，需要一個復雜的思維過程.在教學設計中安排這一組有針對性的題目，對學生全方位理解概念的內涵與外延是有益的，特別是第2)，3)小題.當學生陷入思維困惑時，教師“以學定教”，及時調整教學節奏，放緩思維坡度，拉長思維過程，與學生一起交流討論，從而讓“學為中心”的理念得到充分體現.

片斷4 辨析感悟，深化理解

師：練習1中的第4)，5)小題，它們都是因式分解，可結果不一樣，你能作出解釋嗎？

生5：只要反過來去驗證一下就明白了.

師：能說具體點嗎？

生(眾)：整式的乘法.

師：能說說因式分解和整式乘法的關系嗎？

生6：一種互為相反的運算.

師：能說準確點、具體點嗎？

生6：一種互逆變形.

生7：整式的乘法是一種運算，左邊是幾個整式的積，右邊的計算結果是一個多項式或單項式.因式分解的左邊是一個多項式，右邊的結果是幾個整式的積的形式，2者是互逆的.

隨后教師安排學生再次觀察教材的章前主題圖，體會把2輛對開的列車分別起名為“因式分解號”和“整式乘法號”的原因，并安排了以下練習：

練習2 檢驗下列因式分解是否正確：

1) -2x2+4x=-2x(x+2)；

2) 2x2-9=(2x+3)(2x-3).

評注 這里教師沒有像教材那樣專門安排“做一做”，而是充分發揮練習題的教學功能，通過問題“它們都是因式分解，可結果不一樣”引導學生去逆向驗證，自然喚醒舊知“整式乘法的意義”，進而提出問題“因式分解與整式乘法有什么關系”，深化因式分解概念的理解.在這一過程中，教師的設問循序漸進，指向明確，引導學生思維自然向前推進.特別是通過2次追問“能說具體點嗎”，引導學生對問題的探究步步深入，避免思考浮于表面，同時又讓“先知先覺者”帶動“后知后覺者”一起經歷知識的探究過程，促進全體學生共同成長.通過再次觀察主題圖，直觀感受因式分解與整式乘法的互逆關系，呼應課題引入時的問題，釋疑解惑，加深對因式分解概念的理解.

片斷5 豐富認識，拓展思維

師：我們已經從“數”的角度認識了因式分解，那么能否從“形”的角度來理解呢？請大家觀察這2個拼圖過程(詳見教學內容“環節2”)，寫出相應的關系式.

學生獨立思考后，教師引導學生從拼圖前后面積保持不變入手寫出關系式，并借助拼圖再次感悟因式分解是整式的恒等變形.接著安排如下練習：

練習3 將圖4中的4個圖形拼成一個大長方形，據此寫出一個多項式的因式分解.

圖4

評注 教師在學生已經理解因式分解意義的情況下，通過2個拼圖問題——拼圖前后的面積不變性，引導學生從形的角度豐富對因式分解概念的理解，滲透數形結合的數學思想，有助于發展學生的幾何直觀.隨后安排的練習3引導學生通過動手操作、實驗嘗試的方式拼出大長方形，再去思考拼圖所反映的數學過程，理解拼圖與因式分解之間的聯系，在活動中充分感受數與形的有機融合，使抽象思維與形象思維相互作用，實現數量關系與圖形性質的相互轉化，從而讓學生對因式分解概念的理解再次得到升華.

3 教學思考

3.1 教材處理：信奉而不唯是，遵循而有所立

教材是知識的載體，蘊涵課標的精神實質，凝聚編者的智慧，是教與學的藍本.但由于教材的簡潔性和基礎性，很難做到完全適合不同類型的學校，這就給教師留下了二次創造的空間.“因式分解”這節課，教材編者的意圖是安排“環節1”和“環節2”，讓學生通過具體例子，從“數”與“形”2個方面來體會因式分解的意義，進而歸納獲得因式分解的概念.這樣的編排存在的不足也是顯而易見的，學生通過“環節1”已經實現因數分解到因式分解的類比，因式分解的概念呼之欲出，如果此時進入“環節2”，就把原來自然流淌的思維強行掐斷.

本節課的設計，把“環節2”后移到“片斷5”的位置，確保片斷2～4的教學連貫展開，自然流暢地引入因式分解的概念，然后通過一組練習題，讓學生從“數”的角度加深對概念的理解.在此基礎上，通過“片斷5”再從“形”的角度去豐富因式分解概念的理解，既深化概念的認識，又滲透數形結合的數學思想，有助于發展學生的幾何直觀，提升數學思維能力.教師在處理“因式分解與整式乘法的關系”這一教學內容時，也摒棄了教材的處理方式，而是直接利用練習1中2個小題的教學素材自然地提出問題，順勢回憶整式乘法的含義，進而提出問題“因式分解與整式乘法有什么關系”，這樣既能把節約出的時間讓位于核心知識的探究，又能實現同樣的教學效果，還能最大限度地發揮練習題的教學功能，何樂而不為？當然，我們對教材“不唯是”“有所立”，前提是要深刻理解教材，特別是要從知識的整體架構去分析教材，讀懂編者意圖，再根據學生的實際情況，對教材進行合理地重組或加工，做到“信奉而不唯是，遵循而有所立”，以便更好地服務課堂教學.

3.2 教學環節：基于知識生長，追求思維流暢

作為思維見長的學科，數學的學習不能單純地依靠接受、記憶、模仿和練習.正所謂“學的真諦在于悟”，只有學生親身體驗過的，才能獲得屬于他們自身的經驗，才能實現遷移應用[1].因此，在教學中教師要基于數學知識，自然生長，設計思維流暢的教學環節，讓學生經歷知識的再發現、再創造，自主完成知識的建構，實現數學能力的提升.

本節課，由于是章起始課，教師先引導學生回顧以往研究新知的一般思路，從整體上把握整章的知識框架，明確學習目標，避免學習的盲目性，增強學習的預見性和主動性.在概念探究中，教師將學生的學習起點與新知識自然對接，類比因數分解的概念，通過具體例子讓學生在思維的最近發展區，自主探究，歸納總結出因式分解的概念.這一過程中，因式分解的概念是學生自己通過類比得到的，關鍵詞是學生自己尋找到的，真正讓學生去思考，讓學生去發現，把靜態的知識動態化，數學知識的過程價值得到充分發揮.“片斷4”是“片斷3”的自然延續，教師通過精心設計的2個問題(練習1中的第4)和第5)小題)，引發學生去逆向驗證，進而思考因式分解與整式乘法的相互關系.當學生自以為理解了其實并不深刻、自以為明白了而又難于言表時，教師可適時追問，引導學生進一步思考，把思維引向深入，整個教學過程環環相扣、層層遞進，始終吸引著學生的智力參與，他們的思維在知識的推進中自然地流淌，享受著數學探究性學習旅程中特有的曲徑尋幽之樂.

在日常教學中，每節課都應該有一條清晰的主線，以此帶動知識的自然生長，讓學生的思維在課堂激蕩，使知識與技能、過程與方法、情感與態度等目標順利達成.

[1] 林日福.慢化應用題教學過程，提升學生解題能力[J].中學數學教學參考：中旬，2014(10)：38-40.

憶超負荷問題，如何把信息的同時加工變成依次加工，思維圖示無疑是很好的工具.

所謂思維圖示法，就是把條件和結論之間的關系，用示意圖或線段圖簡略而充分地表示出來，從而顯示出條件與條件之間、條件與結論之間的直觀關系，進而找到解題的途徑和思維方法.

美國著名思維教育專家海勒博士在1988年提出了Thinking Maps，其中包含了圓圈圖、氣泡圖、雙氣泡圖、數形圖、括號圖、流程圖、復流程圖、橋形圖這8種具有特定形式和用途的思維可視化工具.這些工具能有效地幫助學生將隱性的思維顯性化，同時增加思考的深度和廣度，讓思考更有條理.

圖1

用來分析事物順序或步驟的圖示就叫做流程圖[2].如圖1，流程圖由方框和箭頭組成.每個方框中書寫一個步驟，箭頭方向表示步驟順序.每一個步驟還可以有“子步驟”，也就是將步驟細化拆分后的步驟，這些子步驟要寫在步驟下面，用豎線連接，如果子步驟間也有明顯的順序，也可以用箭頭將它們連接起來.結合解題分析，僅需在每個方框內寫上已知條件，將條件的等價變形寫在子步驟方框內，這樣問題的分析就變得有條不紊，合理高效.

圖2

用來表示因果關系、分析原因和結果的圖示就叫做復流程圖[2].復流程圖可以理解為流程圖的組合，將流程圖的步驟、順序關系變為原因和結果的描述，就形成了一個復流程圖.如圖2，在繪制時，將某一現象作為中心詞，在它的左側書寫出現這一現象的原因，在它的右側書寫現象所導致的結果，原因和結果不需要一一對應.結合解題分析，需選擇某一條件或某一過程作為中心詞，其左側書寫產生的條件，右側書寫由此可產生的結論.問題的拓展就應運而生.

思維圖示法的根本特點有2個：一是形象化人腦的思考過程，可以把大腦中的思維活動延伸到外部，通過圖形使之外向化、具體化.而思維圖示躍然紙上，所勾勒的形象通過眼睛的觀察又被反饋到大腦，刺激大腦作進一步思考、判斷和綜合，如此循環往復，最初的解題思考也隨之愈發深入.二是有利于分散的條件系統化，便于分析條件之間的關系，不受邏輯推導限制，能讓思維更靈活，思路更開闊.

下面筆者結合具體事例進行說明：如何借助流程圖幫助學生分析和解決問題、加深思考、開拓思路.

圖3

分析 根據題目中條件給出的先后順序，將條件逐一表示出來，該流程圖如圖4所示:

圖4

每個條件在不同學生的腦中形成的反饋不一定相同，不同的學生對題目中重點關注的條件也有所不同，如果刻意地追求統一的理解和同時的關注，勢必會導致部分學生跟不上上課的節奏.允許學生有不同的看法、不同的理解，并且把這些看法和理解標注在條件下方，尋找可行方案，一題多解就自然產生了，如果在不同理解過程中可以發現條件的本質作用、內在的聯系，那么一題多變、多題一解自然生成.

理解1 解析幾何的本質就是用代數的方法解決幾何問題，因此題目中的條件往往是用幾何語言即圖形語言敘述的，條件中也暗含著作圖的順序.因此直接用條件寫出來的流程圖是圖形語言的直譯，如果將每個條件的圖形語言轉化為相應的代數語言，就可得其代數的解決方案.于是流程圖可改寫成如圖5所示的形式：

圖5

解法1 1)設點P(2t,t2).

2)設過點P的切線方程為

y-t2=k(x-2t),

則

Δ=k2-4kt+2t2-2=0.

設l1,l2的斜率分別為k1,k2，則

從而

2xM=2k1，

即

即

y=2tx+2-t2.

5)于是

令s=1+4t2(其中t≥1),則

雖然解題過程比較繁雜，但在流程圖的導引下，學生的解題思路清晰，將解題過程分解為5個步驟，化繁為簡，化整為零，解題信心十足，從而提高了學生解題的正確率.

理解2 如果對流程圖中的某些條件有不同的理解，那么可以得到不同的解決方案.比如切點M,N，解法1中理解為直線與曲線的交點，也可理解為曲線上的2個點，只是過這2個點的切線將符合一定的要求.于是將流程圖改寫成如圖6所示的形式：

圖6

2)以M為切點的切線PM的方程為

即

同理可得,切線PN的方程為

即

4)因為點P在拋物線x2=4y上，所以

5)直線MN的方程為

即

6)點P到直線MN的距離為

反思 此法因為變量增加，使得直線MN的方程復雜，限制條件復雜性增加，該解法并沒有優勢.

理解3 若將點M,N理解為直線MN與拋物線C2的交點，則將流程圖改寫成如圖7所示的形式：

圖7

解法3 1)設直線MN的方程為

y=kx+b.

則

3)切線PM的方程為

即

同理可得切線PN的方程為

k2=4(2-b).

理解4 如果將直線MN理解為切點弦所在直線，即直線MN由多個條件一起確定，那么流程圖升級為復流程圖，具體表示如圖8所示：

圖8

即

y-x0x+y0-2=0,

從而

借助已有的結論，不僅可以簡化解題過程，而且命題者的意圖也一目了然，考查有關切點弦的性質，大膽猜想與此弦有關的性質：從線段角度出發，可以考查有關長度、距離、面積等問題；從直線角度出發，可以考查斜率、截距、中點等問題；從運動的角度出發，可以考查有關軌跡問題；從函數的角度出發，可以研究哪些是定值、哪些具有最小(最大)值.于是可以得到如圖9所示的復流程圖，逐一研究發現下列問題.

圖9

在研究過程中可以發現：研究的關注點始終是直線MN，即y-x0x+y0-2=0，直線的性質也被點(x0,y0)決定.于是大膽猜想：如果直線的斜率為定值，即x0為定值，那么點P應該在怎樣的曲線上呢？如果直線在y軸上的截距為定值或直線過定點,對點P的要求又會發生怎樣的變化呢？一切與(x0,y0)有關的要素都可以加以大膽的想象,于是所有人都可以在如圖10所示的流程圖上再增加研究的方向，從而更改條件，改編題目.

圖10

解題之后再回頭看，怎么看，看什么呢？始終是個難點.借助思維圖示，我們可以在原來雁過無痕的思考過程中尋找是否有不同的理解，在思維的起點上尋找是否有更短的路徑、更快捷的方法，一題多解就應運而生，沒有一點牽強附會，一題多變也變得觸手可及，沒有遙不可攀的感覺.讓思維可視化成為常態，學生的解題才可以真正做到舉一反三，才可以真正脫離題海戰術.

參 考 文 獻

[1] 吳增生.用數學發展智慧:基于腦、適于腦、發展腦的數學教學策略[M].南昌：江西教育出版社，2015.

[2] 趙國慶.思維可視化[M].北京:北京師范大學出版社，2016.

圖1

線性規劃問題圖解法的本質是根據“等值線”原理，將二維的平面區域最值問題轉化為一維的平行直線系的縱截距的最值問題，這一思維方法可以推廣至非線性規劃的最值問題．例如，在約束條件x+2y≤8，4x≤16,4y≤12，x≥0，y≥0下，求2x+3y,x2+y2,x2+2y2的取值范圍．

例1 已知函數f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在[-1，1]上的最大值.

1)證明:當|a|≥2時,M(a,b)>2;

2)當a,b滿足M(a,b)≤2時,求|a|+|b|的最值.

(2015年浙江省數學高考理科試題第18題)

分析 由題設條件知：

從而轉化為一元函數的最值問題．

圖2

方法2 (放縮與構造)由-3≤a+b≤1,-1≤a-b≤3，得

|a+b|≤3, |a-b|≤3，

從而

|a|+|b|≤3,

取a=2,b=-1或a=-2,b=-1符合條件．

無論哪種方法，其本質都歸結于等值法的幾何直觀．一般地，對于二元函數的最值問題，我們可以繪出約束條件對應的可行域，構造等值線將平面區域的點轉化為某一等值路線，最值通常在路線與等值線相切的切點處取到，然后通過求導或判別式法計算最值．

2 “等值線”的向量特征及其應用

2.1 “等值線”的向量方程

圖3

是一組平行直線系．

(2016年10月浙江省數學新高考試題第21題)

圖4

2.2 “等值圓”的向量方程

證明 設AB的中點為O，則

從代數特征看，設A(-t,0)，B(t,0),P(x,y),則

(x+t,y)·(x-t,y)=λ，

即

x2+y2=t2+λ,

( )A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

圖5 圖6

參 考 文 獻[1] 楊世明,王雪琴.數學發現的藝術[M].青島:中國海洋大學出版社,1998:295-298.[2] 潘成銀.平面向量基本定理系數等值線[J].數學通訊,2013(1):40.[3] 祝敏芝.為構建邏輯連貫的學習過程而設計——課例“平面向量基本定理”評析[J].中學數學教學參考,2015(5):36.

2016-09-27；

2016-10-30作者簡介：詹高晟(1976-)，男，福建三明人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O122.2

A

1003-6407(2017)02-07-04