橢圓一般弦長公式的妙推及應用

●鐘德光 (廣州大學數學與信息科學學院 廣東廣州 510006)

●關麗娜 (深圳大學數學與統計學院 廣東深圳 518060)

橢圓一般弦長公式的妙推及應用

●鐘德光 (廣州大學數學與信息科學學院 廣東廣州 510006)

●關麗娜 (深圳大學數學與統計學院 廣東深圳 518060)

文章給出橢圓一般弦長公式的一個妙推，并借此一般公式，舉例說明了它在優化解題步驟和求解圓錐曲線壓軸題中的妙用.

橢圓弦長公式；仿射變換；優化解題步驟

1 定理及推論

高中課堂上介紹的橢圓弦長公式雖然形式簡單，但缺點是計算量太大，學生也往往因此導致計算失誤或者半途而廢.因此找到橢圓一般弦長公式顯得很有必要.然而這個一般公式是否存在呢？答案是肯定的.文獻[1]中給出了答案，只是其中略有缺陷：其一是直線方程不夠一般；其二是在推導過程中，應用韋達定理將此公式“硬算”出來,這與數學追求簡單的思想有點不對口.因此筆者給出一個原創證明，證明過程采用了仿射變換的性質，優點是可繞開復雜的計算.

為了證明方便，筆者先給出仿射變換的性質.關于仿射變換的性質，讀者可在文獻[2-3]中找到相關內容.

引理1 2條平行線段經過仿射變換后，依舊是2條平行線段，而且保持線段比例不變.

有了這個引理，就可以著手證明下面的定理：

從而

圖1 圖2

由此定理，我們很容易得到以下幾個推論.值得一提的是這些推論都是已知的結果，只是為了行文方便，將它們羅列出來，并且給出粗略的證明.

證明 由定理1可得

設點O到直線l的距離為d，由點到直線的距離公式可得

證明 由推論1可知

由基本不等式可得

分析 根據條件把直線AB的方程代入一般弦長公式并且稍加整理即可得出結論，此處略去具體證明過程.

A2a2+B2b2-C2≥0.

證明 根據條件，只需要令

即可，容易得到

A2a2+B2b2-C2≥0.

接下來我們通過例子談談橢圓一般弦長公式的應用.

2 應用

2.1 優化解題步驟，巧縮計算時間

圖3

1)求實數m的取值范圍；

2)求△AOB面積的最大值.

(2015年浙江省數學高考理科試題第19題)

2)如圖3所示，設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，根據條件可設直線AB的方程為

x+my+k=0.

(m2+2)x2+4kx+2(k2-m2)=0.

由韋達定理可得

(2)

(3)

到此為止，我們很有必要停下來談一談式(1)、式(2)和式(3).首先，式(1)是由韋達定理得到的，這一步學生一般都能寫得出來；其次，式(2)純粹是課堂上常用的公式，只要學生記得公式就可以直接套用；至于式(3)，學生一般都是將式(1)代入式(2)，再進行化簡而得到.但是這種方法不但計算復雜，而且往往會花很多時間，最后還可能得不到|AB|的正確表達式.為了避免這些問題，筆者建議：學生不妨在式(1)、式(2)的基礎上，利用定理1得到式(3)，而不再將式(1)代入式(2)化簡從而得到式(3).這樣不但可以省下許多時間，而且還可以保證計算的正確性，何樂而不為？這里記住定理1的公式是關鍵.

由基本不等式可得

2.2 巧用極端，妙證切線

證明 設橢圓上任意一點(x0,y0)的切線方程為Ax+By+C=0，則Ax0+By0+C=0.因為直線Ax+By+C=0為切線，故其與橢圓相交所成的弦長為0，所以

A2a2+B2b2=C2.

即

cos(φ-θ)=-1,

從而φ=θ+π+2kπ，其中k∈Z，于是

即

又因為Ax+By+C=0，所以

評注 注意此題2次用到參數方程.

2.3 應用各推論，簡解壓軸題

1)求橢圓C的方程.

②求△ABQ的最大值.

(2015年山東省數學高考理科試題)

另外，由推論1可得

因此

[1] 廖炳江.求橢圓弦長的一個公式[J].安順師專學報，1999(4)：40-43.

[2] 梅向明，劉增賢，林向巖.高等幾何[M].2版.北京：高等教育出版社，2000.

[3] 鄧振江.從圓到橢圓的不變性質及其應用[J].中學數學研究，2014(6)：19-23.

2016-10-27；

2016-11-30作者簡介：鐘德光(1989-),男,廣東惠州人,博士研究生.研究方向：教育數學.

O123.1

A

1003-6407(2017)02-17-03