■湖北省武漢市黃陂區第六中學 梅 磊

決勝高考導數壓軸題

■湖北省武漢市黃陂區第六中學 梅 磊

由于導數是高等數學的基礎知識,不等式是高中數學最重要的工具之一,對中學生來說,導數與不等式問題具有思維能力要求高、解題方法靈活、難度大等特點,所以幾乎每年高考數學理科卷的壓軸題都是導數不等式問題。本文結合近幾年高考數學理科卷的壓軸題,對導數與不等式問題進行分類例析,希望對同學們的學習能有所幫助。

一、函數不等式的證明問題

(1)求a,b的值;

(2)證明:f(x)>1。

設函數g(x)=xlnx,則g'(x)=1+ lnx。當時,g'(x)<0;當x∈時,g'(x)>0。故g(x)在上單調遞減,在上單調遞增,所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為所以

綜上所述,當x>0時,g(x)>h(x),即f(x)>1。

點評:本題第(1)問考查函數圖像在某一點處的切線與函數的導數的關系,即導數的幾何意義,比較簡單。第(2)問是函數不等式的證明問題,要證明不等式f(x)>1,常用的方法是求函數的導數,討論函數的單調性,得到函數的大致圖像,進而得到結論。但本題不易求出f'(x)的零點,從而需要同學們打破常規思路,將要證明的不等式合理轉化。將證明不等式轉化為證明不等式后,問題便迎刃而解。

二、函數不等式中參數的取值范圍問題

設函數f(x)=x2+ax+b, g(x)=ex(cx+d)。若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P有相同的切線y=4x+2。

(1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍。

解析:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f'(0)=4,g'(0)=4。而f'(x)=2x+a, g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a= 4,d+c=4。從而a=4,b=2,c=2,d=2。

(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2, g(x)=2ex(x+1)。設函數F(x)= kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+ 2)·(kex-1)。由題設可得F(0)≥0,即k≥1。令F'(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2。

①若1≤k0。所以F(x)在(-2,-lnk)上單調遞減,在(-lnk,+∞)上單調遞增。故F(x)在[-2,+∞)上的最小值為F(-lnk)。而F(-lnk)= -2lnk+2-(-lnk)2-4(-lnk)-2= lnk·(-lnk+2)≥0,故當x≥-2時, F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立。

②若k=e2,則F'(x)=2e2(x+2)(exe-2),從而當x>-2時,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上單調遞增。而F(-2)=0,故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立。

③若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2= -2e-2(k-e2)<0,從而當x≥-2時, f(x)≤kg(x)不可能恒成立。

綜上可知,k的取值范圍是[1,e2]。

點評:本題以不同函數在同一點處有相同切線為立意命題,第(1)問考查導數的幾何意義,比較簡單。第(2)問是求函數不等式中參數的取值范圍問題。可以利用f(x)≤kg(x)構造出新的函數F(x)=kg(x)-f(x),并靈活運用導數研究此函數的性質,從而求出有關參數的取值范圍。

三、導數綜合題中間接考查不等式問題

(Ⅰ)當a為何值時,x軸為曲線y= f(x)的切線?

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x> 0),討論h(x)零點的個數。

解析:(Ⅰ)設曲線y=f(x)與x軸相切于點(x0,0),則f(x0)=0,f'(x0)=0,即解得

(Ⅱ)當x∈(1,+∞)時,可知g(x)= -lnx<0,則h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上無零點。

當x∈(0,1)時,g(x)=-lnx>0,所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點個數。

(1)若a≤-3或a≥0,則f'(x)= 3x2+a在(0,1)上無零點,故f(x)在(0,1)上單調。而,所以,當a≤-3時,f(x)在(0,1)上有一個零點;當a≥0時,f(x)在(0,1)上沒有零點。

點評:本題第(Ⅰ)問仍然是考查導數的幾何意義的基礎題型,比較簡單。第(Ⅱ)問在“最小值函數”這個特殊背景下命題,對同學們提出了“破解定勢,思考本質”的要求。很多同學發現這道題是一個分段函數以后,就試圖去求兩個函數的交點,從而寫出函數的解析式。但是本題聯立兩個方程后得到一個超越方程,無法求解。本題是求“零點的個數”問題,一味地去找分段邊界無異于舍本逐末。事實上,只要觀察f(x)的零點位置與g(x)的零點位置之間的關系即可。

縱觀以上三道例題,第一問都是涉及曲線的切線問題,即考查導數的幾何意義,同學們要引起重視。第二問雖然考查形式不同,但實質都是導數與不等式問題,突出考查轉化與化歸和分類討論的數學思想。

高考導數壓軸題以考查函數的單調性為核心,研究函數的單調性實際上就是研究函數的導數,函數的最值與函數的單調性緊密相連,而不等式又與函數的最值密切相關,所以解決高考導數壓軸題的關鍵在于不等式。

同學們可以將近幾年的高考數學卷中的導數壓軸題加以練習,不斷地在式子的變形中觀察對比結構特征,求同存異,提煉有效信息,積累解題經驗,體會高考導數壓軸題的特點和突破策略,必然會形成屬于自己的自然而常規的思路,從而能有效地提高導數壓軸題復習備考的效率。

只有通過大量挑戰高考導數壓軸題的訓練,才能經歷從不了解到了解,從了解到理解,從理解到掌握,從掌握到靈活運用的過程,從而征服高考導數壓軸題。

(責任編輯 王福華)