聚焦高考變化中的導數大題

■陜西洋縣中學 史亞鵬 劉大鳴(特級教師)

聚焦高考變化中的導數大題

■陜西洋縣中學 史亞鵬 劉大鳴(特級教師)

高考中解析幾何大題的難度為中檔以上,主要考查利用導數求曲線的切線方程、函數的單調區間及極值(最值),以及結合單調性與不等式的成立情況求參數的范圍等熱點問題。常與基本初等函數的圖像與性質、解析幾何、不等式、方程等交匯命題,凸顯數形結合、轉化與化歸、分類討論等思想的應用。

聚焦1——利用導數的幾何意義求在一點或過一點的曲線的切線方程

(1)已知函數f(x)=x3-4x2+ 5x-4。

(1)求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;

(2)求經過點A(2,-2)的曲線f(x)的切線方程。

解析:(1)因為f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1。又f(2)=-2,所以曲線在點(2,f(2))處的切線方程為y+2=x-2,即x-y-4=0。

感悟:曲線在某點處的切線方程,則已知點一定是切點,該點處的導數值就是以此點為切點的切線的斜率,利用點斜式寫出直線方程。對于曲線y=f(x)上“過”點(m,n)的切線問題,一般要先設切點(x0,y0),于是切線方程為y-n=f'(x0)(x-m),再根據切點在曲線上,得y0=f(x0),又切點在切線上,得y0-n=f'(x0)(x0-m)。列方程組,可求出切點的坐標(x0,y0)。注意判斷給出的點是否在曲線上,否則會出錯。

聚焦2——利用導數判斷或證明函數的單調性

(江蘇省南京市2017屆高三上學期學情調研)已知函數f(x)=ax2-bx+ lnx,a,b∈R。

(1)當a=b=1時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)當b=2a+1時,討論函數f(x)的單調性。

解析:(1)由導數的幾何意義易求切線方程為2x-y-2=0。

(2)因為b=2a+1,所以f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,從而f'(x)=2ax-(2a+

當a≤0時,x∈(0,1),f'(x)>0,x∈(1,+∞),f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減。

感悟:利用導數求函數的單調區間的步驟:求定義域→求導數f'(x)→求f'(x)=0在定義域內的根→用求得的根劃分定義區間→確定f'(x)在各個開區間內的符號→得相應開區間上的單調性。題設中含有參數時,解方程f'(x)=0的根導致分類討論,分類討論的標準要按照不等式的形式正確確定(最高項系數與0的大小、兩根的大小等)。

聚焦3——由函數在區間上不單調求參數的取值范圍

(2017年山西省長治二中等四校高三聯考)已知函數f(x)=alnx-ax-3 (a∈R)。

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)若函數y=f(x)的圖像在點(2, f(2))處的切線的傾斜角為45°,對于任意的t∈[1,2],函數g(x)=x3+x2·在區間(t,3)上總不是單調函數,求m的取值范圍。

當a>0時,f(x)的增區間為(0,1),減區間為(1,+∞);

當a<0時,f(x)的增區間為(1,+∞),減區間為(0,1);

當a=0時,f(x)不是單調函數。(2)由(1)及題意得,即

因為g(x)在區間(t,3)上總不是單調函數,即g'(x)=0在區間(t,3)上有變號零點。

當g'(t)<0,即3t2+(m+4)t-2<0對任意t∈[1,2]恒成立,由于g'(0)<0,故只要g'(1)<0且g'(2)<0,即m<-5且m< -9,即m<-9;由g'(3)>0,得

感悟:f(x)在(a,b)內為增函數的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)內的任一非空子區間上f'(x)≠0。應注意此時式子中的等號不能省略,否則漏解。函數在區間上不單調可轉化為其導函數在區間上有變號零點,研究導函數的圖像,由區間端點的函數值構建不等式組求解。

聚焦4——利用導數研究函數的最值

(2017年新疆兵團農二師華山中學高三試題)已知函數f(x)=x-(a+xex。

(1)當x∈[1,e]時,求f(x)的最小值;

(2)當a<1時,若存在x1∈[e,e2],使得對任意的x2∈[-2,0],f(x1)

①當a≤1時,x∈[1,e],f'(x)≥0, f(x)為增函數,故f(x)min=f(1)=1-a。

②當1

③當a≥e時,x∈[1,e],f'(x)≤0, f(x)在[1,e]上為減函數,故f(x)min= f(e)=e-(a+1)-

綜上,當a≤1時,f(x)min=1-a;當1

(2)由題意知f(x)(x∈[e,e2])的最小值小于g(x)(x∈[-2,0])的最小值。

由(1)知f(x)在[e,e2]上單調遞增, f(x)=f(e)=e-(a+1)-。g'(x)=

min(1-ex)x,當x∈[-2,0]時,g'(x)≤0, g(x)為減函數,g(x)min=g(0)=1,所以e-,即,所以a的取值范圍為

感悟:判斷在閉區間[a,b]上連續函數f(x)必有最大值與最小值的步驟:①討論單調區間;②判斷極值;③極值與閉區間端點的函數值比較,最大的為最大值,最小的為最小值。

聚焦5——利用導數解決不等式恒成立問題

(2017年西安市八校聯考)已知函數f(x)=m(x-1)ex+x2(m∈R)。

(1)若m=-1,求函數f(x)的單調區間;

(2)若對任意的x<0,不等式x2+(m+ 2)x>f'(x)恒成立,求m的取值范圍。

解析:(1)利用導數可求得f(x)的增區間為(0,ln2),減區間為(-∞,0)和(ln2, +∞)。

(m+2)x,x<0,因為x<0,所以mex-xm>0。令h(x)=mex-x-m,則h'(x)= mex-1。

當m≤1時,h'(x)≤ex-1<0,則h(x)在(-∞,0)上單調遞減,所以h(x)>h(0)= 0,符合題意;

當m>1時,h(x)在(-∞,-lnm)上單調遞減,在(-lnm,0)上單調遞增,所以h(x)min=h(-lnm)

綜上所述,m的取值范圍為(-∞,1]。

感悟:利用導數解決不等式的恒成立問題,首先要構造函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍;也可分離變量,構造函數,直接把問題轉化為函數的最值問題。

聚焦6——利用導數解決存在型不等式成立問題

(2017年福建四地六校聯考)已知a為實數,函數f(x)=alnx+x2-4x。

(1)是否存在實數a,使得f(x)在x=1處取得極值?證明你的結論。

(2)設g(x)=(a-2)x,若?x0∈,使得f(x)≤g(x)成立,求實數a00的取值范圍。

解析:(1)由題意知函數f(x)的定義域為(0,+∞),所以f'(x)=a+2x-4= x

假設存在實數a,使f(x)在x=1處取得極值,則f'(1)=0,得a=2,此時f'(x)=

當x>0時,f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以x=1不是f(x)的極值點。故不存在實數a,使得f(x)在x=1處取得極值。

(2)由f(x0)≤g(x0),可得(x0-,設F(x)=x-lnx,則,解不等式易知F(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,則F(x)≥F(1)=1,所以。設h(x)=,則h'(x)=

感悟:存在型不等式成立求參數常用分離參數法,關鍵在于研究參數前面函數的值域,可用導數法求解。如本題由(x0-構造函數F(x)=xlnx研究最小值轉化為,再構造函數求最值,利用存在的意義求得參數的范圍,值得借鑒。

聚焦7——利用導數證明不等式

(2017年山東省濟南市高三摸底考試)已知函數f(x)=

(1)若f(x)在區間(-∞,2)上為單調遞增函數,求實數a的取值范圍;

(2)若a=0,x0<1,設直線y=g(x)為函數f(x)的圖像在x=x0處的切線,求證: f(x)≤g(x)。

令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),x∈R,則h'(x)= f'(x)-f'(x)==

0

設φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈ R,則φ'(x)=-ex0-(1-x0)ex。

因為x0<1,所以φ'(x)<0,所以φ(x)在R上單調遞減。而φ(x0)=0,當x0;當x>x0時,φ(x)<0。

所以,當x0;當x>x0時,h'(x)<0。

所以h(x)在區間(-∞,x0)上為增函數,在區間(x0,+∞)上為減函數。

所以當x∈R時,h(x)≤h(x0)=0,所以f(x)≤g(x)。

感悟:利用導數證明不等式關鍵在于構造函數,若證明f(x)

聚焦8——利用導數研究方程的根或函數的零點

(2017年貴州省七校聯考)已知函數f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然對數的底數,a∈R。

(1)當a>0時,解不等式f(x)≤0;

(2)當a=0時,求整數t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解。

解析:(1)因為ex>0,所以不等式f(x)≤0,即ax2+x≤0。又因為a>0,所以

(2)當a=0時,方程為xex=x+2,因為ex>0,所以x=0不是方程的根,于是原方程等價于。令

0)∪(0,+∞)恒成立,故g(x)在x∈(-∞, 0)和(0,+∞)上單調遞增。因為g(1)= e-3<0,g(2)=e2-2>0,g(-3)=e-3-,則xex=x+2有且僅有2個根,且分別在[-3,-2]和[1,2]內,故整數t的所有值為{-3,1}。

感悟:涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖像交點個數問題,一般先通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等,再借助函數的大致圖像判斷零點、方程的根、交點的情況,歸根到底還是研究函數的性質,如單調性、極值,然后通過數形結合的思想找到解題的思路。

(責任編輯 王福華)