泰勒公式在不等式證明中的應用

孟麗君

【摘 要】泰勒公式在數學分析里有著重要的地位，并且可以給一些高數題目的求解帶來便利。本文介紹了泰勒公式在一般不等式、積分不等式、導數不等式方面的應用，總結出泰勒公式在證明一般不等式、積分不等式、導數不等式的思路。

【關鍵詞】泰勒公式；不等式

一、引言

多項式函數是各類函數中最簡單的函數，泰勒公式建立了一般函數與多項式函數的聯系。研究泰勒公式，對于我們解決許多數學題目有重要意義。泰勒公式的重要結論如下：

定理1 若函數f（x）在點x0存在直至n階導數，則有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n） （1）其中Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2+…+（x-x0）n為泰勒多項式，而o（（x-x0）n）為佩亞諾型余項，（1）式為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式。

定理2 若函數f（x）在[a，b]存在直至n階連續導函數，在（a，b）存在n+1階導函數，則對任意給定的x，x0∈[a，b]，至少存在一點ξ∈（a，b），使得

f（x）=Tn（x）+（x-x0）n+1 （2）

其中Tn（x）同定理1相同為泰勒多項式，而（x-x0）n+1為拉格朗日余項，（2）式為帶有拉格朗日余項的泰勒公式。

一些文獻對泰勒公式的應用，如求函數的近似值、求函數的極限、求函數在某點的高階導數值等，本文著重介紹泰勒公式在證明不等式中的應用，幫助學生系統掌握這部分知識。

二、在證明一般不等式方面的應用

泰勒公式在證明一般不等式的題目類型條件約束較低，一般題目中函數只要二階或二階以上可導，就可以考慮使用泰勒公式。

例1（哈爾濱工業大學，北京科技大學）設f（x）在[a，b]上二階可微，f″（x）<0。試證：

?a≤x1kif（xi）

證明：因f（x）在[a，b]上二階可微，從而f（x）用泰勒公式展開到二階

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2

泰勒公式證明題目的時候要選擇恰當的x，x0，本題中選擇x=xi，x0=kixi

從而上式為：

f（xi）=f（kixi）+f′（kixi）（xi-kixi）+（xi-kixi）2

將ki乘上式兩端，然后n個不等式相加，得出：

kif（xi）

kif（xi）

由已知條件ki=1，可以得出：

[kif′（kixi）（xi-kixi）]=f′（kixi）[kixi-ki（kixi）]=0

從而kif（xi）

（上接第44頁）

例2（北京師范大學）設f（x）有二階導數，f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]，試證：f″（x）≥0

證明：因f（x）有二階導數，從而f（x-h），f（x+h）用泰勒公式展開到二階

f（x-h）=f（x）-f′（x）h+h2+o（h2）

f（x+h）=f（x）+f′（x）h+h2+o（h2）

上面兩式相加并除以2，得出[f（x-h）+f（x+h）]=f（x）+h2+o（h2）

由已知條件f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]

上式可以得出h2+o（h2）≥0?+≥0

令h→0取極限得出f″（x）≥0

通過例1，例2可以總結出用泰勒公式證明一般不等式的解題思路：（1）按照已知條件，通常條件的最高階數為泰勒公式展開的最高階數；（2）泰勒公式展開后要選擇適合的，關于的選擇需要一定解題經驗，應該加強這方面的積累；（3）根據已知條件對泰勒展式進行適當縮放。

三、在證明定積分不等式方面的應用

泰勒公式在證明定積分不等式的題目類型與證明一般不等式的條件相同，條件約束也較低，一般題目中函數只要二階或二階以上可導，就可以考慮使用泰勒公式。

例3設f（x）在[a，b]上單調增加，且f″（x）>0

試證：（b-a）f（a）

證明：利用定積分的性質，容易得出（b-a）f（a）

因f（x）在[a，b]上二階可導，從而?t∈[a，b]在點x用泰勒公式展開到二階

f（t）=f（x）+f′（x）（t-x）+（t-x）2

利用已知條件f″（x）>0，可以得出f（t）>f（x）+f′（x）（t-x）

分別取t=a，t=b，帶入上式得出f（a）>f（x）+f′（x）（a-x）

f（b）>f（x）+f′（x）（b-x）

將上面不等式組左右相加，得出f（a）+f（b）>2f（x）+（a+b）f′（x）-2xf′（x）

兩邊同時求定積分[f（a）+f（b）dx>2f（x）dx+（a+b）f′（x）dx-2xf′（x）dx?[f（a）+f（b）]（b-a）>2f（x）dx+（a+b）[f（b）-f（a）]-2xdf（x）?[f（a）+f（b）]（b-a）>2f（x）dx+（a+b）[f（b）-f（a）]-2xf（x）│+2f（x）dx?[f（a）+f（b）（b-a）>4]f（x）dx+（a+b）[f（b）-f（a）]-2bf（b）+2af（a）?2[f（a）+f（b）]（b-a）>4f（x）dx?f（x）dx<（b-a）

綜述可得：

（b-a）f（a）

通過例3可以總結出用泰勒公式證明定積分不等式的解題思路：（1）按照已知條件，通常條件的最高階數為泰勒公式展開的最高階數；（2）泰勒公式展開后要選擇適合的；（3）根據已知條件對泰勒展式進行適當縮放；（4）對（3）所得的式子兩邊同時取積分，解積分通常可以得出結論。

注意：上述步驟（2）與（3）可以互換。

四、在證明導數不等式方面的應用

泰勒公式在導數不等式方面的題目類型與上述條件相同，一般題目中函數只要二階或二階以上可導，就可以考慮使用泰勒公式。

例4設f（x）在[0，1]上有二階導數，0≤f（x）≤1時|f（x）|≤1，

|f″（x）|<2試證：當0≤x≤1時，|f′（x）|≤3。

證明：因f（x）在[0，1]上二階可導，從而?t∈[0，1]在點x用泰勒公式展開到二階

f（t）=f（x）+f′（x）（t-x）+（t-x）2

分別取t=0，t=1可得：

f（1）=f（x）+f′（x）（1-x）+

（（1-x）2

f（0）=f（x）+f′（x）（-x）+

（（-x）2

上面方程組左右兩端相減，可得：

f（1）-f（0）=f′（x）+（1-x）2-x2

?|f′（x）|≤|f（1）|+|f（0）|+（1-x）2+x2≤2+（1-x）2+x2≤2+1≤3

例5設f（x）在[a，b]上有二階導數，f′（a）=f′（b）=0，試證：?ξ∈[a，b]，使得|f″（ξ）|≥|f（b）-f（a）|

證明：因f（x）在[a，b]上有二階導數，從而f（x）用泰勒公式展開到二階

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2

取x=，分別取x0=a，x0=b，題目給出f′（a）=f′（b）=0，從而得出：

f（

）=f（a）+

（

）2 ξ∈（a，

）

f（

）=f（b）+

（

）2 η∈（

，b）

上面方程組左右兩端相減，可得：f（b）-f（a）+[f″（η）-f″（ξ）]（b-a）2=0

故≤（|f″（η）|-|f″（ξ）|）

取ξ=ζ |f″（η）|≤|f″（ζ）|

η |f″（η）|>|f″（ζ）|

從而得出≤[|f″（η）|+|f″（ζ）|]≤|f″（ξ）|

通過例4，例5可以總結出用泰勒公式證明導數不等式的解題思路：（1）按照已知條件，通常條件的最高階數為泰勒公式展開的最高階數；（2）泰勒公式展開后要選擇適合的x，x0；（3）根據所證結論對泰勒展式的一階導數或二階導數等項進行適當縮放即可。

本文介紹了泰勒公式在證明一般不等式、積分不等式、導數不等式方面的應用，通過介紹我們可以看出泰勒公式在證明不等式時，思路比較清晰，易于操作，為我們解決一些比較復雜的不等式打開了新的思路。同時泰勒公式在高等數學其他解題方面也有許多便利，值得我們后續進一步研究。

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系編.數學分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2006

[3]同濟大學數學系編.高等數學（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2015

[4]龔冬保.泰勒公式在解題中的妙用[J].高等數學研究，2008.11：64-65

[5]譚康.泰勒公式及泰勒級數之妙用[J].高等數學研究，2010.5：11-12