《高等數學》教學中需強調及補充的一個知識點

董小燕

【摘 要】本文簡要探討了在《高等數學》某些知識點的處理方面應該兼顧后續課程如《概率統計》需要的必要性。對“積分上限的函數其被積函數是分段函數時求該函數”這個具體的知識點，在教學中應如何強調及補充給出了具體的教學設計和例題分析。

【關鍵詞】高等數學；概率統計；積分上限的函數

《高等數學》和《概率論與數理統計》（以下簡稱為《概率統計》）是工科院校各專業的重要基礎課程，但這兩門課程又是讓很多學生望而生畏的，尤其是《概率統計》課程。目前由于教材編排及內容設置等傳統做法并沒有很好地考慮到這兩門課程知識之間的聯系性，結果使很多學生在《概率統計》中用到《高等數學》的微積分知識時遇到困難，因為一些要使用的知識或在《高等數學》中一筆帶過，或是根本沒有相應的講解及練習，所以使學生在學習這些內容時做不到平穩銜接，順利過渡，進而加深了對《概率統計》課程的畏懼心理，導致該門課程教學效果大受影響。這些知識點包括如無窮限廣義積分計算、二重積分的積分域為無窮平面域、積分上限函數的被積函數為分段函數、含參變量的積分等。本文僅以《高等數學》中講授的積分上限函數為例，對于其被積函數為分段函數時如何求該積分上限函數的相關內容，提供一種教學設計，便于做好和《概率統計》課程相應知識點的銜接。

在傳統的《高等數學》教材中，對于積分上限函數，是作為微積分基本公式出現之前的一個預備知識，對于這個重要函數的介紹，僅限于概念和它的求導公式。

定義：設函數f（x）在區間[a，b]上連續，并且設x為[a，b]上的一點，則稱Φ（x）=f（t）dt，（a≤x≤b）為積分上限的函數。

定理：如果函數f（x）在區間[a，b]上連續，則積分上限的函數Φ（x）=f（t）dt在[a，b]上可導，并且它的導數Φ′（x）=f（t）dt=f（x），（a≤x≤b）。

教材中關于積分上限的函數沒有更多的介紹，只給出了兩個應用上述定理公式的例題，在課后習題中增設了一些如隱函數求導、由參數方程確定的函數求導、積分上限函數的復合函數求導、洛必達法則以及被積函數是分段函數時積分上限的函數的求法等等類型的習題。這些習題中，前面的那幾種類型都是學生在《高等數學》中已經學習過的知識，不同之處在于其中出現的函數是本節新學到的積分上限的函數，教師一般會作為新知識應用及舊知識復習的結合，給學生加以講解及練習。唯獨被積函數是分段函數時積分上限的函數的求法這種題型，若非教師本人熟悉后續課程《概率統計》的相關內容，往往會覺得在高等數學課程中沒有太大作用，學生比較難理解，接受起來比較吃力，因此往往就直接忽略了這樣的題型。但這樣的處理方式直接導致在《概率統計》課程中學生在學習諸如連續型隨機變量由概率密度函數求分布函數等相關知識時遇到困難。因此，在高等數學本節教學內容的處理上，建議增加以下例題和練習題，并詳細地加以分析和講解，輔助以練習，從而達到在后續課程應用時能順利銜接的目的。

例：設f（x）=x2，x∈[0，1）

x，x∈[1，2]，求Φ（x）=f（t）dt在[0，2]上的表達式。

在該例的講解過程中，教師應著力于讓學生區分清楚積分變量和積分上限處的變量x，以及它們各自的取值范圍，即0≤t≤x，0≤x≤2。其中積分上限處的變量x具有兩重屬性，絕對的變化性和相對的固定性，即作為函數Φ（x）的自變量它是絕對變化的，但作為定積分f（t）dt的上限時它又是相對固定的。必要時可借助于定積分的幾何意義，進行曲邊梯形面積的圖形直觀演示，讓學生清楚此例中函數Φ（x）的定義域是[0，2]。同時要強調，當積分區間變化時，相應的被積函數f（t）也會隨著變化，如0≤x≤1時，f（t）=t2，而當1≤x≤2時，由于被積函數的不同需要利用“定積分對于積分區間具有可加性”這樣的性質把積分區間分為0≤t<1和1≤t≤x，在這兩段積分區間上，被積函數分別是f（t）=t2和f（t）=t。相信通過這樣層層抽絲剝繭細致入微的分析講解后，學生對這部分內容以及函數Φ（x）的理解會進一步加深。

此外，教師應補充一些類似的題目，讓學生仿照剛才的例題繼續進行練習，通過例題的講解和補充題目的練習，力爭使學生對這一類問題全面掌握。這既有利于《高等數學》課程中學生對積分上限的函數這部分的學習深入扎實，又為《概率統計》課程相應部分打下了良好的基礎。以下兩道題目可供學生練習參考。

練習1：設f（x）=

sinx，0≤x≤π

0， x<0或x>π，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表達式。

練習2：設f（x）=

x，0≤x<3

2-，3≤x≤4

0， x<0或x>4，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表達式。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.《高等數學》（上）（第六版），高等教育出版社

[2]盛驟等編.《概率論與數理統計》（第四版），高等教育出版社