運用導數巧解不等式

李建源

自從學習了導數知識內容以后，我們在解決求切線方程式、求函數單調性、極值、最值及不等式證明等數學問題時更加簡捷、方便。導數的廣泛應用帶來了新思路、新方法。不等式題型是中學數學中一種最常見的題型，同學們通過解答此類題型可以掌握數學的一些基本知識，還可以鍛煉自己各方面的解題能力，如自學能力、綜合分析能力、邏輯思維能力等，解決好這類題型能夠使自己在“實”“強”“技巧”等方面得到加強。在解決不等式問題時，巧妙地運用導數證明不等式是一種行之有效的好方法，它能使不等式的證明化難為易、迎刃而解。本文通過一典型例題的三種不同解法，從構建新函數入手，利用函數單調性、函數的最值等闡述導數在不等式證明中的應用。

典型例題：已知函數f（x）=ex，g（x）=lnx，證明：f（x）-g（x）>2

方法一：

解題思路：通過兩函數作差構造一個新函數，研究該函數的單調性，找出其最值。如本題證明f（x）-g（x）>2，只要構造一個函數t（x）=f（x）-g（x），只需要證明函數t（x）的最小值為2即可。

解：令函數t（x）=f（x）-g（x）=ex-lnx，定義域為（0，+∞）。

t′（x）=ex-，

令t′（x）=0時的點為x0，即：t′（x0）=e-=0，

此時，e=

∵f（x）=ex與f（x）=-均為增函數

∴t′（x）=ex-為增函數。

則x>x0，時，t′（x）>0，函數t（x）為增函數，

x

則t（x）在x=x0處存在最小值t（x0）=f（x0）-g（x0）=e-lnx0

∵e=，x0=e，lnx0=-x0

∴e-lnx0=+x0>2 （∵x0≠1）

所以，t（x）=f（x）-g（x）>2

方法二：

解題思路：在某些情況下，當構建一個函數模型解題困難時，可考慮同時構建兩個函數模型，來研究這兩個函數最值。如本題證明f（x）-g（x）>2，構造函數m（x）=ex-x，n（x）=lnx-x，只需要證明m（x）的最小值與n（x）的最大值之差大于2即可。

解：設m（x）=ex-x，n（x）=lnx-x 定義域為（0，+∞）。

∵m′（x）=ex-1，又x>0

∴m′（x）>0，函數m（x）為增函數，

∴m（x）>e0-0=1

又∵n′（x）=-1，當x=1時，n′（x）=0

x<1時，n′（x）>0，函數n（x）為增函數，

x>1時，n′（x）<0，函數n（x）為減函數，

∴函數n（x）在x=1處存在最大值n（1）=ln1-1=-1

∴m（x）-n（x）>1-（-1）=2

∴ex-lnx>2

所以，f（x）-g（x）>2

方法三：

解題思路：構造兩個函數，研究這兩個函數最值，如本題證明f（x）-g（x）>2，構造函數m（x）=，n（x）=+，只需要證明m（x）的最小值大于n（x）的最大值即可。

解：令m（x）=，n（x）=+ 定義域為（0，+∞）。

m′（x）=-=（x-1），x=1時，m′（x）=0

x>1時，m′（x）>0，函數m（x）為增函數，

x<1時，m′（x）<0，函數m（x）為減函數，

∴函數m（x）在x=1時有最小值m（1）=e

n′（x）=-+-=--=-（lnx+1）

當x=e-1時，n′（x）=0，

x>e-1時，n′（x）<0，函數n（x）為減函數，

x0，函數n（x）為增函數，

∴函數n（x）在x=e-1時有最大值n（e-1）=2e-e=e

因為，m（x）與n（x）函數圖像不相交，

所以，m（x）>n（x）

∴>+

即，ex-lnx>2，f（x）-g（x）>2

比較以上三種方法可以看出，為了求導的方便，針對每種解題方法，函數的構建非常重要，通過合理構建函數，將不等式問題轉化為函數問題，從而拓寬解題思路、降低問題難度。