數學教學中加強培養學生物理思維的改革與實踐

丁艷玲

摘要：高等數學和大學物理具有千絲萬縷的聯系。本文首先討論了高等數學和大學物理的學科特點，提出兩學科在教學中的相互滲透和相互促進作用。基于工科學生在高等數學和大學物理學習中遇到的問題，指出大學物理為高等數學的抽象思維提供豐富的內涵，進而提出物理思維在高等數學教學中滲透的必要性。文中著重探討如何在高等數學教學中進行教學設計，從而培養數學教學中學生的物理思維，進而滿足工科學校培養學生工程思維的需求。

關鍵詞：高等數學課程 物理思維 教學設計 教學內容

中圖分類號：G6337文獻標識碼：A文章編號：1009-5349（2016）11-0023-02

高等數學和大學物理是理工科學生必修的基礎課。雖然，它們有各自不同的目標和價值判斷準則，也有不同的傳統。但它們的基礎概念部分，令人吃驚地分享著若干共同的概念。[1]兩學科之間彼此借鑒，互相促進。高等數學是大學物理必備的工具，物理學發現的定性規律可以用數學表達式定量且簡潔地表述出來。反之大學物理對高等數學的回饋也很豐厚。學過物理的學生對數學意境有更深邃的理解，更能體會數學語言的豐富內涵和高度概括力。一些頗費口舌的數學概念可以借助物理的直觀而簡化處理。[2]高等數學和大學物理有著千絲萬縷的聯系，許多教育工作者就如何結合兩門學科特點協同教學進行了深入探討。

一、問題的提出

隨著我國高考調整，普通高校擴招，增大學校規模，就出現了普通本科院校生源質量逐年下降，明顯的表現就是數學基礎相對比較薄弱。[3]根據多年實際教學經驗及對學生的問卷調查發現：學生們在學習高等數學時，物理想象能力匱乏；學習大學物理時，缺少與新知識相關的高等數學知識作為儲備，從而對物理模型的理解應用產生局限性。因此，幫助學生克服在學習高等數學中涉及的物理問題時出現的思維負遷移，使其順利實現數學思維和物理思維間轉化，從而為更好地培養學生具有優秀的工程師素質，是目前數學教學中需要承擔的任務和挑戰。本文就如何在數學教學中加強培養學生物理思維的改革與實踐提出幾點思考與探索。

二、探尋物理意義，實現物理思維在數學中的滲透

高等數學在應用方面具有為其他科學提供表述語言、抽象思維模式和計算工具的特點。[4]物理學研究的是物理量之間的數量關系，這種數量關系要借助于數學來表達。數學既是物理學的語言，又是物理學的工具。在高等數學涉及到的物理問題教學中，既要實現培養學生用數學語言表達物理內容，如定理、定律等，又要指導學生善于從數學演算的結果中作出符合實際的解釋，即追問表示什么樣的物理意義。

高等數學與大學物理在概念、內容上有著相當程度的融合。下面以“對弧長的曲線積分”教學內容為例，展示在教學中始終圍繞物理意義來完成數學教學過程。利用探尋物理意義的方式實現物理具體思維與數學抽象思維間的轉換，進而建立物理問題和數學概念間的柔性連接。

高等數學的“對弧長的曲線積分”教學引入中首先提出如下物理問題。設一曲線形構件所占的位置是在xoy面內的一段曲線弧L上，已知曲線形構件在曲線弧L上的點（x，y）處的線密度為μ（x，y），現計算該曲線形構件的質量m。在處理具有實際意義的物理問題過程中，通常需要將問題進行合理的抽象和簡化，轉化成適當的數學模型。我們將構件質量計算的數學形式定義為對弧長的曲線積分。反之，從物理學角度解讀對弧長的曲線積分，∫Lμ（x，y）ds就是線密度為μ（x，y）曲線形構件的質量。將問題延伸一下，當μ（x，y）=1時，得對弧長曲線積分∫Lds=s。從物理學角度解釋，如果線密度為常數1，曲線質量恰好為曲線長度與線密度的乘積，即曲線質量恰好為曲線長度。

類似的，引導學生自主思考：若曲形構件所占有空間區域為閉合曲線，計算當它的密度為1時的質量；設平面薄片占有由閉合曲線所圍成的平面區域R，計算當它的密度為1時的質量。

通過上述教學過程，可以清晰地發現教學的主題雖還是數學內容，但教學的延展卻是數學的物理應用，這樣的教學設計有助于開拓學生的視野，提高學生們的應用能力。

三、突出高等數學中物理概念和原理的學習

高等數學主要培養學生抽象概括、空間想象、邏輯推理和計算等方面的能力，大學物理不僅要使學生獲得關于自然現象的更加嚴密、準確和一般化的知識，而且要使學生掌握科學的思想方法和研究方法（包括運用數學工具和實驗）。因此，高等數學和物理雖然在許多內容上有著高度的融合，但是由于自身各自的學科特點，仍要注意區分數學概念和物理概念，突出物理概念、原理的學習。

下面以高數教材中的“曲線”教學內容為例進行教學設計，強調在教學中始終把握曲線是運動的軌跡這一物理背景，讓學生們體會用曲線來描繪和分析運動是數學教學的功能之一。

對于任意一條空間曲線都可以認為是某質點的運動軌道，也都可以認為是某一隨時間變化的位置矢量的端點軌跡。對于變化的位置矢量來說，總可以表達為三個直角坐標分量的形式r=xi+yizk。該矢量表達和參數方程表達x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）是等價的。

1.向量值函數在運動學中的概念

若r是沿光滑平面曲線運動的質點的位置向量，則在任何時刻t，

（1）v（t）=drdt是質點的速度向量，并且與曲線相切（切向量）；

（2）‖v（t）‖代表v（t）的大小，是質點的速率；

（3）a（t）=dvdt=d2vdt是速度的導數或位置向量的二階導數，是質點的加速度向量；

（4）v（t）‖v（t）‖是一個單位向量，且為運動方向。

我們可以把運動的質點的速度表示成它的速率與方向的乘積：

速度=‖v‖（v‖v‖=（速率）（方向）

2.曲線的曲率與物理學的銜接

在曲線曲率的教學過程中，可以更工程化地體現我們的教學內容。現在我們不妨拋開抽象的數學概念，以向量值函數在運動學中的相關概念為基礎，給出曲率的定義。設物體沿某光滑曲線運動，不妨用點離開某個“基點”的有向距離s確定物體位置，這與用離開原點的有向距離來確定該點在坐標軸上的位置如出一轍。s可以作為研究曲線形狀的自然參數（稱為弧長參數）。弧長參數對于研究空間或平面曲線的彎曲和扭轉特別有效。

由于s（t）=∫tt0‖v（τ）‖dτ，顯然有dsdt=‖v（t）‖。由速度向量v（t）=drdt相切于曲線，知向量T=v‖v‖是光滑曲線的單位切向量。現令弧長作為參數，因為我們考慮的曲線dsdt>0，是單值的且其反函數是s的可微函數t，故有反函數的導數為dtds=1ds/dt=1‖v‖。這就使得r是s的可微函數，其導數可通過鏈式法則計算得drds=drdtdtds=v1‖v‖=T。這個等式說明dr/ds是在速度向量v方向上的單位切向量。

對于平面曲線，它即使彎曲也不能扭轉出平面。當一個質點沿平面光滑曲線運動時，T=drds隨著曲線的彎曲而轉動，因為T是單位向量，在質點沿曲線運動時，它的長度保持常數值而僅僅方向在改變。由此我們定義單位長度上T的轉動率稱為曲率。若T是光滑曲線的單位切向量，則曲率函數是K=‖dTds‖。如果‖dTds‖大，T在質點通過P時轉動得急劇，在點P的曲率就大，如果接近于零，在質點通過時轉動得緩慢，在點的曲率就小。以直線與圓周的曲率為例，易知直線曲率為零，圓周曲率為其半徑的倒數，且半徑越小曲率越大，恰好可以檢驗這個定義。

雖然作為數學概念，可以很輕松地講解曲率，但通過這種教學設計結合物理概念和原理來講解曲率時，可以更好地實現物理思維在數學教學中的滲透，達到良好的教學效果。

由此可見，針對高等數學教材中涉及的物理模型章節，例如，質點運動的描述，力的做功運算，多質點系剛體，場的路徑積分及通量計算等進行教學改革與實踐，可以提高學生的物理思維，并為使他們具備工程思維打下良好基礎。但同時在針對高數教材中涉及的物理問題調整教學內容時，還要注意以下幾個問題：

（1）既要注意物理現象的數學表現形式，又要特別注意物理現象自身的特點。

（2）既要明確物理規律所表示的物理意義，又不能單純地從抽象的數學意義去理解物理問題，特別要防止單純從數學觀點出發將物理問題純數學化的傾向。

（3）由于物理規律受實際情況的制約，所以表達物理概念或規律的公式時一定要明確物理公式成立的條件和適用的范圍。

因為在教學過程中適當強調物理定律或公式是如何建立或導出的，并在此基礎上弄清物理定律或公式的意義和應用背景，因此可以幫助學生們避免機械地死記硬背物理公式的困難。

四、結論

大學物理與高等數學有著密切的聯系，許多教育工作者就如何更好地建立兩學科的柔性連接進行了廣泛深入的研究。本文基于數學及物理的廣泛聯系及應用性，意識到數學融合物理的教學實踐具有廣闊的發展空間。文中強調高等數學教學中應建立物理問題和數學概念的柔性連接并突出高等數學中物理概念和原理的學習。通過對“弧長的曲線積分”和“用曲線來描繪和分析運動”的教學設計，具體呈現了數學教學中加強培養學生物理思維的必要性與可行性。這種教學設計為學生提供了一種真正的工程背景，使學生感受到科學和技術就發生在身邊，成果就在其中，從而引發他們的學習興趣，擴展他們的視野，培養他們的工程素質。

參考文獻：

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[3]張淼.提高學生的高等數學課程學習效果的教學研究與探討[J].長春工程學院學報（社會科學版），2014，15（04）：131-132.

[4]王子興.數學方法論——問題解決的理論[M].長沙：中南工業出版社，1997.

[5]陳建軍，徐濤.高等數學課程與大學物理課程教學協同芻議[J].高等函授學報（自然科學版），2011，24（06）：29-31.

責任編輯：孫瑤