化解困惑，著力培養學生列方程的能力

賈慶華

列方程解應用題是小學數學的重要內容。從算術到代數，是學生認識現實世界數量關系過程中的一個飛躍，也是學生數學學習的一個轉折點。學生的思維發展水平和代數的抽象性特點之間的矛盾，以及算術思維定勢的影響等，使小學生在學習列方程解應用題時遇到很多困惑。而在小學的數學教學中，應用方程解決問題是數學教學聯系實際的重要課題，因此對于培養學生分析問題、解決問題的能力尤為重要。

一、思維定勢的干擾

初學列方程，學生仍用已掌握的算術解法，對列方程解法很不適應。如何能排除學生由算術解法形成的思維方式的干擾，從而使學生逐步適應并熟練掌握方程解法，順利達到從算術解法到列方程解法的過渡；逐漸體會到用字母代替數，認識到從算式到方程使我們有了更有力、更方便的數學工具，從算術解法到方程解法是數學的進步。舉例說明：小明的姐姐送給他科技書和故事書共12本，其中送了科技書4本，那么姐姐送給他幾本故事書？用算術方法可以列出算式：12-4=。用方程方法：設送給的故事書為x本，通過數量關系列出方程：x+4=12。兩種方法各有特點，算術解法是已知總數和一部分來求另一部分，屬于逆向思維，難于思考；而方程解法是用部分加部分等于總體的思路列出算式，將未知數與已知數一起運算來求出x的值，執果索因的分析法，是順向思維，便于思考。通過讓學生自己進行比較，認識到方程解法的優越之處。如果要解決的問題較為復雜，那么用方程列等式求解的優勢更為明顯。方程解法的主要特征就是將未知數與已知數同等看待，將未知數用字母表示。而算術解法的基本特征是通過已知數按照一定的數量關系來列出算式，經加減乘除運算求出要求的數量。

二、學生在列方程解應用題遇到的幾個困惑

1.用字母表示數。

用字母表示數是代數的一個基本特點，也是列方程解應用題的基礎。小學生從具體的五本書、兩顆球過渡到抽象的數5、2是認識上的一次飛躍。由于每個數都是確定的，因此學生易于掌握。但從確定的數過渡到用字母表示數，更是認識上的一次飛躍，用字母表示題中涉及的數量關系，并把這種數量關系轉化為相等關系，從而得到方程。由于字母表示的數具有不確定性，有時可以是任意數，有時有一定的范圍，在特定場合下又有其特定的意義。這種不確定性對于小學生來說是比較抽象的，再者還受到確定的數表示數量關系的思維定勢的影響。因此，用字母表示數就成為學生列方程解應用題的第一個難點。

2.代數式構建。

方程的建立就是把兩個等值的代數式用等號連接起來。因此，正確、熟練地構建代數式是列方程的基礎。這就需要在感知應用題情境的基礎上先將日常語言“翻譯”為數學語言，再把數學語言直接“翻譯”為含有未知數的代數式。這對小學生來說具有相當的難度。

3.設何數為x。

在題目中無間接未知數x時，學生設直接未知數為x沒有什么困難，但是往往由于定勢思維的影響，誤認為列方程解應用題可以無須考慮題意與條件，只要以x表示未知數，一切問題就都解決了。

三、化解困惑著力培養學生列方程的能力

1.數學語言和日常語言進行“互譯”，培養學生構建代數式的能力。

培養學生把未知數和已知數放在同等地位來進行分析，并正確、熟練地列出代數式是列方程的基礎。采取對策有兩點：

（1）訓練學生對數學語言和代數式進行“互譯”。這種“翻譯”訓練可以為列方程掃除障礙，鋪平道路。

例如：用數學語言敘述下列代數式：①2x+7，②5×7-6x。

用代數式表示下列數量關系:

①x與4的差。

②3與x的和。

③與2的積。

（2）訓練學生把日常語言“翻譯”為代數式。它是以數學語言為中介實現的。例如：“故事書比科技書的3倍多15本”，先翻譯為數學語言“比某數的3倍多15”，再翻譯為代數式“3x+15”。其意義在于使學生真正明白每個代數式的實際意義，這不僅是學習方程的基礎，也是培養學生把實際問題抽象為數學問題的能力。

2.分析題意轉化為熟悉的數量關系。

分析數量關系是列方程解應用題的關鍵，著力培養學生尋找等量關系的能力是教學的重點。在列方程解應用題中，“等量關系”是列方程的依據，同時“等量關系”又是與問題中所有的“基本量”密切相關，是對某一類“基本量”的關系的刻畫。這就要求學生必須了解或熟悉基本的數量關系，這是列方程解應用題的基石。

（1）利用數形結合尋找等量關系。

數和形在客觀世界中是不可分割地聯系在一起的，小學數學教材十分重視數形結合。一般地，學生在感知應用題情境的基礎上，畫出示意圖，采用數形結合的方法分析數量關系。其心理學意義在于：示意圖能夠使列方程所必須的條件同時呈現在視野內，示意圖成了思維的載體，視圖疑思實際上使視覺參與了解題過程。正如蘇霍姆林斯基所言“教會學生把應用題畫出來其用意就在于保證由具體思維向抽象思維過渡”。教學中，教師要充分運用直觀教學，通過學生動手、動口、動腦，在獲得大量感性知識的基礎上，再通過抽象、概括上升到理性認識。例如：合唱隊的人數比舞蹈隊的2倍少3人。首先從同樣多入手。教師在第一行擺了3個△，第二行擺了3個○，啟發學生說出○與△的個數同樣多。其次引出差，使差與比的標準同樣多。接著教師在第二行再擺上1個○，這時○比△多1個。然后在第二行再擺上2個○，使學生說出△比○少3個；再引導學生通過觀察得出：○比△多的部分與△的個數同樣多。最后從份數入手建立“倍”的概念。接上面，如果把3個△看作1份，○有這樣的幾份呢？○有這樣的2份，我們就說○的個數是△個數的2倍。學生通過啟發可列出等量關系式：合唱隊人數=舞蹈隊人數×2-3；合唱隊人數+3=舞蹈隊人數×2；（合唱隊人數+3）÷2=舞蹈隊人數；（合唱隊人數+3）÷舞蹈隊人數=2。這些等量關系式正是列方程的依據。通過這一準備階段訓練，學生的思維得到了擴展，能用不同的等量關系式表示同一種關系，培養了學生尋找等量關系的能力。

（2）從常見數量關系中尋找等量關系。

為了便于學習把一些常見的數量關系概括成關系式并歸類。如：行程問題：路程=速度×時間；工程問題：工作總量=工作效率×工作時間；鹽水問題：鹽的質量=鹽的質量分數×鹽水的質量；價格問題：總價=單價×數量；總利潤＝利潤/件×數量＝總收入-總支出。以及各種面積、體積的計算公式。再有，對一些名詞術語的含意也要使學生很好地掌握。如：和、差、積、商的意義，提高、提高到、提高了、增加、減少、擴大、縮小等的意義。否則會在分析數量關系時造成錯誤。經常復習一些常見的等量關系，有利于學生列方程時尋找等量關系。

3.培養學生設未知數的能力。

在應用題中，特別是未知量較多的問題中，若能巧妙地設未知數，可以給列方程帶來方便。設未知數是列方程解應用題的第一步，對含有多個未知數而又只允許設一個未知數的問題，用哪個未知數來設元，直接關系到列方程的難易程度。一般來講，解應用題有兩種設未知數的方法：

（1）直接設未知數法。

題目里怎樣問就怎樣設未知數。這樣設未知數，只要求出所列方程的解，就可直接回答問題。例如：女兒今年4歲，母親今年36歲，幾年后母親的年齡是女兒的年齡的5倍?這道題就可直接設x年后母親的年齡是女兒的年齡的5倍來解：x+36=5（x+4）。

（2）間接設未知數法。

一些題目中，若采用直接設未知數法，會給列方程增加麻煩。如果采用間接設未知數法，即通過間接的橋梁作用，達到求解的目的。間接設未知數的具體做法是設一個不是問題的未知數為“x”，然后用含有字母的代數式來表示所問的未知量，求得未知數的值后，再求出表示未知量的整式的值，最后回答問題。設計一題多問的形式來發散學生思維。如，修一條公路120千米，修了兩天還剩下70千米，已知第一天修了全長的，問第二天比第一天多修多少千米？第二天修了全長的幾分之幾？學生興趣一下調動開了，使課堂達到了高潮。

4.培養良好學習習慣，訓練學生列方程的能力。

學生在解題時常常會有一種不良的習慣，不愿意邊讀題邊做標記，更懶得咬文嚼字細細揣摩題中的信息和問題之間的關系，往往對題目一掃而過，根據經驗“想當然”地解題，造成“不看題目，這么容易也會出錯”的狀況。訓練學生列方程的能力，首先要指導學生在閱讀數學問題時邊讀邊思考，理清條件和問題，明確它們之間的關系，使要解決的問題在頭腦中形成清晰、完整的印象，從而為解題做準備。讀題是審題的前提，是解題的關鍵。培養學生良好的讀題習慣是一個潛移默化的過程，需要長期堅持。對題中的重點字、關鍵詞圈圈點點，圖形描描畫畫，有助于學生深入思考，將抽象的數學語言轉化為生活語言，將隱性的數學信息可視化。這樣增強了解題的策略意識，有效地提高了學生的解題能力。其次，訓練學生用綜合法和分析法列方程。所謂綜合法列方程，就是先假定題目中某一未知數為根據這個數與其他的已知數、未知數的關系，列出代數式，再依題意找出等量關系，最后用等號連接含此等量關系的代數式，即列出方程。而分析法列方程則是找出題中最明顯的兩個性質相同的等量關系，然后再找到這兩個量分別與其他已知數、未知數的關系，如此一直推到最后只剩下一個未知數為止。即假定這個未知數為帶入上式的各種相關關系中，即得到兩個相等的代數式由此列出方程。以上這兩種分析方法不是孤立的，而是相互關聯的。在分析應用題時，往往是這兩種方法結合使用，從已知找到可知，從問題找到需知，這樣逐步使問題與已知條件建立起聯系，從而達到順利解題的目的。只要認真理解題意，抓住題中的關鍵詞或者是不變關系，就可找出相等關系。利用所學的列代數式的基礎，將其最終翻譯成數學符號語言，列出方程解決問題。

總之，數學方程問題的教學，要理論聯系實際，在教學過程中，要注意整個教學過程中學生的思維發展，培養學生的創新意識，滲透列方程中蘊涵的“數學建模思想”和解方程中蘊涵的“化歸思想”，即能夠運用所學的數學知識構建方程模型來解決生產和日常生活中的實際問題。