引導學生學會“數學思考”的教學策略

李培芳 葉建云

一、有效設問與置疑，引發學生有條理的思考

教學《三角形邊的關系》時，教師設計練習：有兩根小棒，長度分別是5厘米與9厘米，再搭配上一根多長的小棒就一定能首尾相連圍成一個三角形。（教師利用幾何畫板軟件制作了一個可以拉動的三角形，其中兩條邊的長度分別是5厘米與9厘米，第三條邊可以隨著頂點的拉動不斷變化它的長度）

師：先想象，第三邊能不能是4厘米？為什么？

生：不能，因為 5+4=9，兩邊的和沒有大于第三邊，圍不成三角形。

師：如果讓第三邊變成4厘米，會怎樣？

生：會成一條直線。（教師演示將第三邊變成4厘米的情況）

師：這個時候，只要第三邊的長度變——（長），就能圍成三角形。你們覺得要變長多少才能圍成三角形？

生：一點點。

生：1微米。

生：0.00001微米。（演示：第三邊多一點點變成的一個很“扁”的三角形）

師：第三邊變得更長一點能形成三角形嗎？

生：當然更能形成三角形。

師：第三邊能無限地長嗎？

生：不能無限地長。

生：不能超過14厘米。

在這一教學過程中，學生明白了這個三角形的第三邊的取值范圍是在4厘米與14厘米之間，同時可以無限地接近4厘米與14厘米，但是不能變成4厘米與14厘米。如果第三邊變成4厘米與14厘米時，三角形便不復存在，它將成為一條直線。“先想象，第三邊能不能是4厘米？”“如果讓第三邊變成4厘米，會怎樣？”“第三邊變得更長一點能形成三角形嗎？”教師有效的、漸近式的設問，不斷地將學生心理的平衡狀態打破，使學生在自然的學習過程中激活了數學思維，從中展開了有條理的思考。

二、嘗試歸納、類比與猜測，發展初步的合情推理能力

1.嘗試分析與歸納，發展初步的合情推理能力。

在教學《三角形邊的關系》時，在學生發現“三角形兩邊的和大于第三邊”之后，教師是這樣開展教學的：

師：三角形兩邊之和大于第三邊，這是大家的發現。不過，這一個發現，還得加上一個問號（板書“？”），因為只是這幾個三角形兩邊的和大于第三邊。別的三角形兩邊的和大于第三邊嗎？

生：要驗證。

師：咱們班有多少人？（55人）要是有55個三角形來驗證就好了？有辦法嗎？

生：每一個同學都畫一個三角形來驗證。

師：你真會想辦法，就按你說的辦！每一個同學在作業紙上畫出一個三角形，然后量出它三條邊的長度，再算一算，開始！（學生操作）

師：同學們，剛才在驗證中，你畫的三角形任意兩邊的和大于第三邊嗎？

生：是的。

師：這樣，咱們畫的這55個三角形都有一樣的性質，是不是就能說明所有的三角形都有這樣的性質呢？問號能擦掉嗎？

生：還是不能，因為畫到100個、1000個有可能就會出現反例。

師：咱們可以通過分類討論的方法來驗證。大家知道，三角形畫得再多也就三類，即銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形。在同學們的驗證中這三類三角形都有這樣的性質，這樣三角形的所有類型都有這樣的性質，我們就可以相信這條結論是成立的。這個問號現在就可以擦掉，換上一個完美的句號了。

在這里，從“三角形兩邊之和大于第三邊”后面的“？”到“。”的教學過程，是一個分析與歸納的學習與領悟過程，同時也是一個初步的合情推理能力跨越式發展的過程。這樣的學習過程，學生將積極的“數學思考”融入其中，學得生動、主動、深入。

2.巧用類比與猜測，發展初步的合情推理能力。

在教學《克、千克、噸》時，學生完成的作業中有這樣一道選擇題：小明的體重是30（）。參考答案:A.克；B.千克；C.噸。教師本以為這一道題學生會全對，沒想到，居然有不少學生選擇第1個答案“克”或第3個答案“噸”。之所以會出現這種錯誤，除了因為對這三個質量單位“建構”得還不夠好之外，更重要的是在完成時學生沒有聯系實際加以理解。為此，教師到市場去挑選了一大一小兩個雞蛋，做了一個課件（5輛貨車，每輛車身標明“載重：6噸”），開始了特殊的類比與猜測的教學過程：

師：我們不僅要做學習的小能手，還要做生活的小能手。下面，老師來考考大家，看誰猜得最準確？

教師邊說邊從抽屜里拿出事先準備好的較大的那個雞蛋，問：這個雞蛋大約有多重？

生：這個雞蛋大約重50克。（因為教材中有，所以學生還記得較清楚）

教師又從抽屜里拿出事先準備好的較小的那個雞蛋，問：那這個雞蛋大約有多重？

學生意見不一，有的說約重40克，有的說約重30克。

師：老師昨天特意去市場挑了半天才找到這個寶貝雞蛋呢！老師已稱過，大約重30克。

師：剛才同學們說得不錯。下面，老師繼續考考大家，有一個運貨車隊（邊說邊投影顯示課件：5輛貨車，每輛車身標明“載重：6噸”），一次能運多少東西？

學生快速地回答：30噸。

師：非常正確！看來大家還真是考試高手呢。（學生顯露得意之色）

師：可是，昨天晚上，不少同學把老師嚇了一大跳呢！請看（教師邊出示學生所做的選擇題，邊展示較小的那個雞蛋），有這么輕的人嗎？（學生大笑）

師：再請看，也有同學選擇“小明的體重是30噸”，那可要5輛貨車才能拉得動的，有這樣的人嗎？（學生再次大笑）

師：感謝選擇“克”和“噸”的同學，為大家帶來了笑聲。讓我們用熱烈的掌聲謝謝他們！

這一教學過程，教師將學生錯誤的學習資源，巧用類比與猜測，在充盈民主的教學氛圍里，在學生和諧的笑聲中，學生對“克”和“噸”的認識是立體的、生動的，促進學生對知識的有效、生動、科學建構，在動態建構過程中切實發展了學生初步的合情推理能力。

三、體悟證明的必要性，發展初步的演繹推理能力

在教學過程中，要引導學生對數學信息作出合理的解釋、推斷和證明，扎實有效地發展學生初步的演繹推理能力。

在教學《三角形內角和》時，可突出以下幾個教學環節。

預測與檢驗：讓學生從自備的各類三角形中，隨意取出一個，當場量出其中兩個角的度數，老師馬上報出第三個角的度數，讓學生檢驗是否正確，引發學生的好奇心，老師是怎么樣知道的？激起學生強烈的學習動機。

解釋與推斷：思考、討論，怎么樣才能知道三角形內角和的度數？引導學生通過計算法（把各個內角的度數加起來，可能會有微小的誤差，但都是在180度左右）和剪拼法（將三個角剪下或撕下，然后將頂點對在一起，連成一個平角）得出結論。

證明與深化：是不是所有的三角形都有這樣的特點呢？如果把一個大三角形剪成兩個小三角形，內角和會怎樣？如果把兩個小三角形合成一個大三角形，內角和又會是怎樣呢？

這樣，教學將操作、思維和語言表達有機地結合起來，將合理的解釋、推斷和證明聯系起來，使學生能全方位地參與探索知識的形成過程，讓學生在知識建構中嘗試證明，使學習更具魅力與活力，使學生初步的演繹推理能力不斷得到提升。