參數激勵驅動微陀螺系統的非線性振動特性研究

尚慧琳， 張 濤， 文永蓬

(1. 上海應用技術大學 機械工程學院，上海 201418； 2. 上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620)

參數激勵驅動微陀螺系統的非線性振動特性研究

尚慧琳1， 張 濤1， 文永蓬2

(1. 上海應用技術大學 機械工程學院，上海 201418； 2. 上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620)

對于一類典型的切向梳齒驅動型微陀螺,建立兩自由度、具有剛度立方非線性和參數激勵驅動的微陀螺系統動力學模型。考慮主參數共振和1∶1內共振的情況，利用多尺度法獲得周期解的解析形式，并利用分岔理論，得到Hopf分岔條件，結合數值模擬系統的動力學響應，揭示系統參數對驅動和檢測模態振幅和分岔行為的影響機制。研究結果表明，在1∶1內共振和較大的載體角速度下，激勵頻率的變化容易引起微陀螺振動系統的多穩態解、振幅跳躍現象和概周期響應等復雜動力學行為。

微陀螺；靜電力；主參數共振；多穩態現象；振幅跳躍現象

靜電驅動微陀螺是建立在微納米技術基礎上的靜電微慣性傳感器，是微機電系統(MEMS)的重要器件, 也是目前發展最快的MEMS產品之一[1-2]。其功能是測量運動物體的旋轉速度或旋轉角以應用于慣性導航，驅動和檢測方式分別為MEMS領域廣泛采用的靜電驅動和電容檢測，具有廣泛的應用前景[3]。

從20世紀80 年代后期開始，全世界各國相繼開展了對靜電驅動微陀螺的研究，熱點集中在微陀螺的穩定性和高精度方向[4-5]。早期采用的靜電驅動微陀螺動力學模型為集總參數系統模型，即兩自由度線性振動系統模型，考慮線性阻尼和剛度，以及簡諧激勵靜電力，通過直接求解線性常微分方程研究微陀螺振動特性。然而，微尺度效應使得靜電驅動微陀螺出現了許多宏觀機械結構不具備的新的物理現象和特征，如力的非線性(靜電力[6-8]、彈性力和粘性力)，阻尼和剛度非線性、以及多場耦合等因素[9]。在設計中采用忽略這些非線性因素的系統模型，容易因無法準確描述微慣性傳感器的振動特性而造成微陀螺檢測的不準確[10]。為此，越來越多的國內外學者開始關注微陀螺的建模和非線性振動特性研究[11-16]。羅躍生[11]考慮靜電吸引力和干擾力對硅微型梳狀線振動驅動式陀螺儀建立了活動質量中心在動系中運動的兩自由度微分方程模型。KENIG等[12]考慮剛度非線性和參數激勵靜電力，建立了微陀螺兩自由度振動系統，數值模擬發現系統存在高維混沌。FRANCESCO等[13]針對一類音叉振動式微機械陀螺的振動模態建立了具有非線性壓膜阻尼，立方非線性剛度的單自由度振動系統，通過數值仿真和實驗研究發現隨著驅動電壓的變化，驅動模態會發生概周期振動和多穩態現象。李欣業等[14]建立了簡諧激勵靜電力、驅動和檢測方向均具有三次剛度非線性的微陀螺系統，分析了主共振解的穩定性,數值模擬發現系統存在多穩態現象，并提出利用時滯反饋的方法來抑制系統Hopf分岔。盛平等[15]針對一類梳齒驅動型微陀螺建立了具有三次剛度非線性和參數激勵靜電力的單自由度驅動模態振動系統模型，發現梳齒電容非線性因素會造成諧振頻率的漂移。文永蓬等[16]研究驅動和檢測微彈性梁的非線性剛度對微陀螺輸出的影響，發現微陀螺振動系統的檢測靈敏度和帶寬呈反比關系；微彈性梁的非線性剛度會使得載體角速度與檢測輸出呈非線性關系。

然而，以上研究大多采用的靜電力模型仍為簡諧力激勵,也少見關于振幅跳躍現象機制的研究報道。事實上，無論平行板電容型靜電驅動還是切向梳齒驅動，其靜電力都分別與動、靜極板的間距或交疊面積有關，因此應主要體現為參數激勵驅動。此外，振幅跳躍現象在宏觀結構振動系統中非常常見，相關機理研究較多[17-21]，如研究Duffing系統中振幅跳躍現象的機制[18-19]和振幅跳躍現象在雙穩態壓電發電系統的應用[20-21]，而在微陀螺振動系統中其行為機制卻未被深入理解。事實上，振幅跳躍現象對微陀螺的穩定性和精度有著不容忽視的影響：振幅跳躍現象的出現意味著載體角速度稍有變動，微陀螺檢測模態就會發生振幅突變，這是一種全局失穩行為，對應載體角速度和檢測模態振幅之間的線性關系不復存在，即微陀螺的測量穩定性和精度遭到破壞。因此本文針對一類切向梳齒驅動型振動式微陀螺建立參數激勵振動系統模型，分析設計參數和驅動參數對驅動和檢測模態響應的影響規律，尤其是引起振幅跳躍和概周期振動等復雜運動的機制，從而為靜電驅動微陀螺的設計和應用提供一定的理論依據。

1 動力學建模

圖1 切向梳齒驅動型振動式微陀螺結構Fig.1 Structure of a non-interdigitated comb-finger actuated vibratory micro-gyroscope

圖2 切向梳齒驅動型振動式微陀螺簡化模型Fig.2 Simplified model of a non-interdigitated comb-finger actuated vibratory micro-gyroscope

當微陀螺的載體繞Z軸以恒定角速度Ωz轉動時，考慮彈性元件自身的質量遠遠小于振動元件質量m，忽略不計，可采用兩自由度集總參數系統模型來描述微陀螺在X-Y平面內的振動特性。考慮圖1中微陀螺的真空封裝環境，空氣阻尼與真空度有關，因此空氣阻尼相對較小，其非線性因素可以被忽略，可假設驅動和檢測方向阻尼均為線性，Cx,Cy分別為驅動和檢測方向的線性阻尼系數；為充分考慮微梁剛度的非線性，設Kx1,Ky1分別為驅動和檢測方向的線性剛度系數，Kx3,Ky3分別為驅動和檢測方向的立方非線性剛度系數。利用拉格朗日方程，可建立常見的微陀螺分析模型：

Fa(X,t)=-(r1X+r3X3)V2(t)

(2)

式中:r1和r3分別為線性和非線性靜電常數，與驅動梳齒電容的設計參數，如齒數和幾何分布直接相關；V(t)為驅動電壓，為時間t的函數，為了方便研究參數激勵的影響，并充分考慮交流電壓的作用，這里將驅動電壓表示為

(3)

式中:VA為交流電壓幅值，ω0為頻率。

為了簡化動力學模型(1)，設

(4)

對式(1)進行整理，得到

(5)

考慮在驅動和檢測方向上Ky3=Kx3,Cy=Cx，則系統式(5)成為

(6)

其物理參數取值如表1所示[6]。

表1 微陀螺物理參數值

2 動力學分析

本節主要求解和分析系統(6)的周期響應。首先，考慮系統的主參數共振和1∶1內共振情況，設

(7)

式中:σ1和σ2分別為驅動和檢測方向的調諧參數，0<ε?1。對變量重新標度如下：

(8)

則系統(6)成為

X″+X=ε2γ2X+2εγY′-εμX′-εkX3-εσ1X+
(εβ1X+εβ3X3)(1+cos(2T))

Y″+Y=ε2γ2Y-2εγX′-εμY′-εkY3-εσ2Y

(9)

為得到系統(9)的近似周期響應，設方程的攝動解形式為

式中:T0=T為快變時間尺度，T1=εT為慢變時間尺度。采用多尺度法對系統進行攝動，為使驅動和檢測模態位移解不出現久期項，對比(ε0)和(ε1)系數，得到

(11)

和

(12)

對應式(12)右側為零，可得到關于驅動和檢測模態振幅a1,b1和相位角ψ1,ψ2的方程

(13)

消去式(13)中的ψ1和ψ2，可得到微陀螺系統關于振幅a1和b1的分岔方程

(14)

由式(11)和(14)即可確定系統(9)的近似周期解。以下分析解的穩定性。若周期解對應的特征方程

λ4+2μλ3+g2λ2+g1λ+g0=0

(15)

具有正實部的根，則該周期解不穩定，其中

(16)

因此，周期解產生Hopf分岔的臨界條件為式(15)有一對純虛根。在此設這對純虛根λ=±iφ，代入(15)式，分離實虛部并化簡，得到：

φ4-g2φ2+g0=0, -2μφ2+g1=0

(17)

由式(17)消去φ，則得到周期解產生Hopf分岔的系統參數條件，即

(18)

3 系統參數對響應的影響

本節主要討論各系統參數對微陀螺振動系統的驅動和檢測模態響應的影響。根據上節的式(10)和(13)可得到各系統參數所引起驅動和檢測模態的響應曲線，其中周期解支的穩定性判斷可根據式(15)和(16)，Hopf分岔點由(18)式得到。解析分析結果由數值模擬系統動力學響應進行驗證。

給定載體的角速度，取ε=0.01，則驅動和檢測方向的幅頻響應如圖3和圖4所示。由圖3和4可知，系統在共振點附近響應幅值較大，對應輸出信號會比較明顯，有利于檢測。其中虛線部分代表近似周期解的失穩區域，很明顯，失穩區域是幅頻特性曲線上多解情況的中間解支，即幅頻特性曲線上兩個垂直切線點之間的虛曲線部分。在圖3中，當σ1在2.40～3.08區間內，系統出現多解和跳躍現象；在圖4中，當σ2在-2.47～-1.13區間內，系統出現多穩態解和跳躍現象，數值模擬也驗證了該現象，從圖上可以看出一次近似解與數值模擬結果非常吻合。根據圖3和4，當σ1>0和σ2<0時，即主參數共振條件下，當驅動模態固有頻率ω1，激勵頻率ω0和檢測模態固有頻率ω2滿足ω1>ω0/2>ω2時，系統可能出現多穩態解和振幅跳躍現象。另外，在系統參數引起振幅跳躍現象之前，驅動模態固有頻率的設計對檢測模態振幅影響非常微弱(見圖3(b))；類似地，檢測模態固有頻率對驅動模態振幅的影響也非常微小(見圖4(a))。

圖3 σ2=-1,γ=0.18時系統(9)的幅頻響應 Fig.3 Amplitude-frequency responses of the system (9) for σ2=-1 and γ=0.18

圖4 σ1=2,γ=0.18時系統(9)的幅頻響應Fig.4 Amplitude-frequency responses of the system (9) for σ1=2 and γ=0.18

圖5 σ1=2和σ2=-1時載體角速度對振動響應的影響Fig.5 Effects of the angular rate of substrate on the vibrating responses for σ1=2 and σ2=-1

載體角速度對微陀螺振動系統響應的影響如圖5和圖6所示。根據圖5，對應較小的載體角速度下(即0<γ<0.110)，驅動模態振幅受載體角速度影響較小(見圖5(a))，且檢測模態振幅與載體角速度呈線性關系，斜率為2.41(見圖5(b))，這一點完全符合微陀螺的工作原理；但當載體角速度繼續增大時(0.110≤γ≤0.153)，系統會出現多穩態解和振幅跳躍現象。在一個正的驅動方向調諧參數下，不同載體角速度對應的系統(9)的幅頻曲線如圖6所示，由圖6，在主參數共振情況下，在較小的載體角速度下系統的幅頻響應曲線是連續的，如圖6(a)中γ=0.05和γ=0.08兩條曲線，不出現多解和振幅跳躍現象；載體角速度較大時才會產生多解和振幅跳躍現象，這與圖5得到的結論相吻合，也與工程實際情況相一致。綜合圖5和圖6，微陀螺正常工作存在一定的載體角速度范圍，超出這個范圍，即使微陀螺振動系統的驅動和檢測模態有周期響應，仍會出現振幅跳躍現象。

圖6 σ1=2時不同載體角速度下系統(9)的幅頻響應Fig.6 Amplitude-frequency responses of the system (9) under different values of angular rate of substrate when σ1=2

另外，考慮載體角速度較大、驅動模態固有頻率偏離共振點，且頻率關系仍滿足ω1>ω0/2>ω2的情況。如當σ1=15,σ2=-1和γ=0.18時，系統的驅動和檢測模態響應見圖7。由時間歷程圖可知，系統發生了概周期振動。

圖7 系統(1)的復雜響應Fig.7 Complex response of the system (1)

4 結 論

以一類典型的切向梳齒驅動型振動式微陀螺為研究對象，建立兩自由度、具有剛度立方非線性和參數激勵的振動系統動力學模型，運用多尺度法和分岔理論，結合數值驗證，分析系統各參數對微陀螺驅動和檢測模態的影響。得到以下主要結論：

(1)主參數共振和1∶1內共振情況下，驅動模態振幅較大，輸出信號較明顯，便于檢測。

(2)在系統參數引起多穩態和振動跳躍現象前，驅動模態固有頻率對檢測模態振幅的影響，以及檢測模態固有頻率對驅動模態振幅的影響都非常微弱。

(3)主參數共振和1∶1內共振的情況下，即微陀螺的驅動模態固有頻率ω1，檢測模態固有頻率ω2和激勵頻率ω0之比接近1∶1∶2時，若滿足ω1>ω0/2>ω2，那么在較大的載體角速度下，微陀螺系統容易出現多穩態解和振幅跳躍現象；而在較小的旋轉載體角速度下，系統不發生多解和振幅跳躍現象，且檢測模態振幅與載體角速度呈線性關系，微陀螺檢測精度較高。

(4)當驅動模態固有頻率偏離主參數共振點，載體角速度的增大容易引起微陀螺振動系統的概周期響應。

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Nonlinear vibration behaviors of a micro-gyroscope system actuated by a parametric excitation

SHANG Huilin1, ZHANG Tao1, WEN Yongpeng2

(1.School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China;2.College of Urban Railway Transportation, Shanghai University of EngineeringTechnology, Shanghai 201620, China)

For a typical non-interdigitated comb-finger actuated micro-gyroscope, a 2-DOF dynamic model with cubic nonlinear stiffness and parametric excitation was established. For the principal parametric resonance case and 1:1 internal resonance, the periodic solutions were obtained with the multi-scale method. Conditions of Hopf bifurcation of the periodic solutions were derived according to the theory of bifurcation. Then the dynamic responses of the system were simulated. Finally, the effect mechanism of the system’s parameters on the modal amplitudes and bifurcation behaviors was analyzed. It was shown that the variation of the excitation frequency is easy to cause various complex dynamic behaviors of the microgyroscope vibrating system, such as, multi-stable solution, amplitude jump phenomena and quasi-periodic responses under a large angular speed of the carrier and 1:1 internal resonance.

micro-gyroscope; electrostatic force; principal parametric resonance; multi-stable solution; amplitude jump phenomenon

國家自然科學基金面上項目(11472176);上海市自然科學基金(15ZR1419200)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-05-10

尚慧琳 女，副教授，1983年3月生

TH113.1; O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.015