錦上添花 感受數學之美

徐斌

摘 要：復習不僅是對所學知識的整理與回顧，而且要在此過程中達到知識的結構化。只有結構化的知識才能使學生有能力去解決問題，形成數學的素養。更重要的是，在對數學知識進行結構化的過程中，要培養學生的數學思維能力，發現數學的內在統一，感悟數學的美，這種數學學習過程中的美好體驗，對于形成數學素養，激發學生的數學學習動機起著積極的作用。

關鍵詞：面積；復習；數學美；體驗

下面是《平面圖形面積的總復習》一課的一個教學片斷，教師在復習了平面圖形的面積計算公式和推導過程之后，又組織學生對公式進行比較，找聯系，對知識進行梳理。

師：你能根據公式之間的聯系，把這些知識整理成知識網絡嗎？把你的想法說給同伴聽，然后合作畫出簡圖，并用箭頭連接，表示出各種圖形的聯系。

小組合作完成，交流。

師：在小學階段，我們首先學習的是長方形的面積計算公式，這是為什么呢？

生：長方形面積計算公式是基礎，因為其他的公式都是根據長方形的面積計算公式推導出來的。

師：這些推導過程有什么相同的地方？

生：都是用了轉化的方法。我們在探討一種新圖形的面積公式時，都是把它轉化成已經學過的圖形。

師：轉化是一種重要的數學思想方法，我們在學習數學時很多地方都用得到它。

一、教學思考

1. 僅從推導過程中將面積計算公式聯系起來夠嗎？

在上述教學片斷中，學生根據計算公式之間的聯系，自主整理，將公式的推導過程有機聯系起來，使平時所學的零碎知識結成網，連成片。同時，在復習整理的過程中，注重引導學生進行比較、反思，有機地結合所復習內容的特點，滲透轉化的數學思想。但筆者覺得這樣教學不夠完美。既然要將所學知識連成片，我們不能僅僅從計算公式的推導過程中將公式聯系起來，從一些外在的形式上找知識之間的聯系，還應該讓學生深入公式的內部，探索公式之間的聯系，促進學生的深度思維。

2. 如何讓學生體驗數學的內在統一美？

還有很重要的一點，復習的目標，不能僅限于知識的梳理，我們是否可以讓學生在數學思想方法、數學活動經驗、數學情感等方面有一個全面的提升？讓學生在數學知識的“量”達到一定標準的基礎上，在“質”上有飛躍，并在數學情感方面有所升華，這才是復習應有的教學目標。當學生將零碎的數學知識整理成一個知識系統后，學生通過思考、交流，引導發現圖形之間的特殊與一般的關系，計算公式中的特殊與一般的關系，圖形的外在特征與內部量的屬性統一協調的關系。當學生自己發現這些公式間存在著密切的聯系，并形成一個具有統一美的嚴謹系統時，那種對數學內在高度統一的認識與驚嘆會油然而生。

基于以上思考，筆者對本課的復習進行了再實踐。

師：長方形的面積為什么是用長乘以寬？

生：長表示每排可放多少個小正方形，寬表示一共有幾排。求一共多少個，就是長乘以寬。

師：計算長方形的面積，實際上我們是用直接擺面積單位的方法求得的。

【設計意圖】計算面積，實際上是計算圖形中所含面積單位的個數。如何讓學生認識到這一點？復習長方形面積的推導過程，回到最原始的方法，更利于學生從根源上認識其本質。

師：我們首先學習的是長方形的面積，這是為什么呢？有什么想法先在小組里交流一下。

生：長方形的面積計算公式是基礎，其他圖形的面積計算公式是以長方形為基礎推出來的。

師：可不可以先學平行四邊形的面積，再在此基礎上推導其他圖形的面積計算公式？

生：不行。平行四邊形的角不是直角，擺正方形不好擺。

師：與其他的四邊形相比，長方形比較特殊，四個角都是直角，里面擺小正方形有優勢。

師：在研究了長方形的面積之后，我們研究其他的平面圖形的面積，還需要擺小正方形嗎？為什么？

生：不需要，因為都沒有直接計算，都是轉化為其他圖形計算的。

師：都是間接計算的。在小組里說一說其他圖形的面積的推導過程。

小組交流。

【設計意圖】計算長方形的面積是直接測量的，其他圖形的面積則可看作是經過轉化后的再測量，屬于間接測量。兩者相比較，突出了求面積的實質是求面積單位的多少，同時也突出了轉化的思想方法。

師：從這些公式的推導過程中，我們可以發現它們之間不是孤立的，而是有內在聯系的。你能根據公式之間的聯系，畫一幅圖讓人一眼就看出6個平面圖形面積計算公式推導方法之間的聯系嗎？

小組合作擺“網絡圖”，學生匯報并說明：為什么這樣擺？怎樣擺更合理些？

師出示教材中的網絡圖（如圖1）：

圖1

引導學生觀察：想一想，為什么這樣擺？你能看出這些箭頭表示的意義嗎？

生：從左往右，根據長方形的面積公式可以推導出其他圖形的面積公式。長方形的面積計算是基礎，正方形看成是特殊的長方形；由長方形的面積公式可以推導出平行四邊形、圓的面積公式；由平行四邊形的面積公式又可以推導出三角形和梯形的面積公式。

師：從右往左看，我們在探討一種新的圖形面積計算時，都是把它轉化成已經學過的圖形。所以我們要注重新舊知識之間的聯系，并把新知轉化成舊知。

【設計意圖】新課標倡導自主探索的數學學習方式。數學知識的復習過程要讓學生對知識進行自主梳理，尊重學生的個體差異，發揮學生的創造能力。自主整理不是放羊，讓教師喪失其主導地位，而是教師要善于引導學生從不同的角度思考問題，從不同的角度找到統一點，構建不同的、屬于學生自己的知識網絡圖。

師：從圖形的外觀上比一比，想一想：與三角形、梯形相比，計算長方形、正方形、平行四邊形、圓形的面積時，為何不除以2？

生：因為沒用兩個完全一樣的圖形來拼。

生：長方形、正方形、平行四邊形的上、下都一樣大，圓的四周也一樣，而三角形和梯形不是這樣的。

師：在推導三角形、梯形的面積公式時都是轉化為長方形的。當延長梯形的上底與下底相等時——

生：就成了平行四邊形。

師：當梯形的上底縮短為一個點時——

生：就成為三角形。

師：梯形可以變化為這兩種圖形，那它的面積計算公式適用于計算這兩種圖形的面積嗎？

生：可以。變化為三角形時，上底為0，所以還是底乘高的積除以2；變化為平行四邊形時，上、下底相等，底乘2乘高再除以2，還是底乘高。

生：我發現用梯形的面積計算公式還可以計算長方形的面積……

生：我還發現圓的面積也可以用梯形的面積計算公式計算……

……

【設計意圖】從圖形的外觀特征上找出面積計算公式之間的異同，目的是使學生認識到每個圖形的外表與內在的統一；以運動變化的觀點來看，我們可以把梯形看成是平行四邊形和三角形的一般形式，而平行四邊形和三角形是梯形的極端情形，梯形的上底延伸至與下底相等或上底縮短為一個點時，就成了平行四邊形或三角形。而當學生以這種運動變化的觀點思考圖形及其面積計算公式時，就打通了計算公式之間的內部聯系，學生在數學思考中體驗到數學的內在統一美。

二、教學反思

1. 比較，感受數學之美

學生通過數學思考、交流，發現圖形之間的面積計算的一致性與差異性與圖形的特征（外觀）有著密切聯系，體會到每個圖形的外部特征與內在數量化有著一致性，感受到數學的統一美，這是縱向比較；而發現梯形的面積計算公式普遍適用于三角形、平行四邊形、長方形、正方形甚至圓形后，完成對公式的統一認識，這是橫向比較。這種由公式表現出來的統一美，正是幾何知識系統內在統一的體現。當然，僅僅通過面積計算公式的復習，就想讓學生折服于數學完美的統一性是遠遠不夠的。這種教學的意義還在于，能讓學生將這種關系自然拓展到其他的幾何圖形的知識，比如體積計算公式、周長計算公式等。通過這樣的比較，學生會覺得所學的數學知識一下子有了豁然開朗、經脈被打通的感覺。經過多種知識的溝通后，學生對數學的完美統一一定會有較深刻的體驗。

2. 思考，促進美感升華

學生對數學美的感覺不僅僅來自于美麗的外在（美觀對稱的圖案）。通過學生深層次的思考，學生對數學美的感受才更深刻。當學生整理知識時，發現公式之間的相互聯系，發現梯形的面積計算公式能普遍適用于三角形、平行四邊形、長方形、正方形甚至圓形，并形成一個具有統一美的嚴謹系統時，那種對數學內在高度統一的認識與驚嘆會油然而生。這是思考后的感受，能在學生頭腦中留下深深的印記，持久地影響著學生對數學的感情，對學生的數學學習起著積極的推動作用。