對(duì)稱間隙單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的等效電路仿真和實(shí)驗(yàn)

汪 諍, 潘麗華, 劉文輝, 包發(fā)毅

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

對(duì)稱間隙單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的等效電路仿真和實(shí)驗(yàn)

汪 諍, 潘麗華, 劉文輝, 包發(fā)毅

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

針對(duì)對(duì)稱間隙單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，為了解決仿真速度慢、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)難度大的問題，設(shè)計(jì)了一種在數(shù)學(xué)模型上完全等效的電子電路，該電路僅使用了運(yùn)放、電阻和電容等簡(jiǎn)單的電子器件。通過MultiSim12.0軟件進(jìn)行仿真，結(jié)果和數(shù)值計(jì)算完全吻合。在仿真的基礎(chǔ)上，通過對(duì)非線性模塊的設(shè)計(jì)，搭建了硬件PCB電路，應(yīng)用信號(hào)發(fā)生器和示波器進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了應(yīng)用等效電子電路進(jìn)行非線性振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的合理性和正確性，并且具有數(shù)值仿真無可比擬的高速運(yùn)算和動(dòng)態(tài)參數(shù)調(diào)整的優(yōu)良特性，為非線性系統(tǒng)的仿真和實(shí)驗(yàn)提供了一種參考。

振動(dòng)系統(tǒng)；等效電子電路；仿真；實(shí)驗(yàn)

含有分段線性、間隙、干摩擦和時(shí)滯等因素的非光滑機(jī)械系統(tǒng)是近年來機(jī)械工程領(lǐng)域研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，該類系統(tǒng)在未接觸到邊界或未發(fā)生碰撞時(shí)，呈現(xiàn)出線性，當(dāng)接觸到邊界或出現(xiàn)干摩擦、碰撞等非線性因素時(shí)，將會(huì)引起噪聲和強(qiáng)烈的振動(dòng)，伴隨著對(duì)接觸的部件造成嚴(yán)重的磨損和沖擊。這些都是由于非線性因素所引起，而線性系統(tǒng)是無法解釋的，如鞍結(jié)分岔、hopf分岔、同宿波分岔、倍周期分岔和其它局部非線性因素等，同時(shí)顯示非連續(xù)系統(tǒng)的非線性因素造成了很多非標(biāo)準(zhǔn)特性的發(fā)生，這就需要用復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)來解釋[1-3]。

非線性機(jī)械振動(dòng)的研究通常以理論研究為基礎(chǔ)，通過數(shù)值仿真來進(jìn)行驗(yàn)證。數(shù)值仿真的缺點(diǎn)是受到計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的限制，仿真時(shí)間漫長(zhǎng)。在具體實(shí)驗(yàn)方面，受到多個(gè)方面的約束，進(jìn)展很慢。論文設(shè)計(jì)了一種和含有對(duì)稱間隙的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)完全等效的模擬電子電路[4-5]，在MultiSim12.0軟件下進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果完全相同，在此基礎(chǔ)上，用TL074CN運(yùn)算放大器、電阻和電容等常用電子元件搭建了硬件PCB電路，應(yīng)用信號(hào)發(fā)生器和示波器完成了電路實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果完全等效。模擬電子電路不僅具有超高的運(yùn)行速度，而且具有間隙、激勵(lì)頻率動(dòng)態(tài)調(diào)整的特性，實(shí)驗(yàn)表明，應(yīng)用等效模擬電子電路進(jìn)行非線性系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)具有正確性、高速性和動(dòng)態(tài)調(diào)整的優(yōu)點(diǎn)。

1 物理模型和數(shù)學(xué)模型

典型的單自由度對(duì)稱間隙碰撞模型如圖1所示。質(zhì)量為M的振子通過剛度系數(shù)為K0的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的線性阻尼器相連接，振子在簡(jiǎn)諧激振力的作用下沿著無摩擦的水平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)線性彈簧在完全釋放狀態(tài)時(shí)，簡(jiǎn)諧激振力為零點(diǎn)，以零點(diǎn)建立向右的一維坐標(biāo)系統(tǒng)，在距離零點(diǎn)位置為B的左右兩邊各有一個(gè)剛度系數(shù)為K1的線性彈簧。在激振力的作用下，振子M在運(yùn)動(dòng)位移小于間隙B時(shí)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)大于或等于B時(shí)，將會(huì)和K1作用，相互碰撞[6-7]。

圖1 單自由度間隙碰撞模型Fig.1 Single degree of freedom collision model with gap

1.1 數(shù)學(xué)模型

圖1所示對(duì)稱間隙單自由度振動(dòng)系統(tǒng)為典型的非線性振動(dòng)系統(tǒng)，主要含有分段線性彈性力F(X)，其數(shù)學(xué)模型為

(1)

非線性部分，即分段線性彈性力為

取無量綱化參數(shù)為

則方程的無量綱化形式為

(2)

式中

1.2 分岔圖

式(2)中有ζ、μ和δ三個(gè)參數(shù)，選擇不同的參數(shù)會(huì)出現(xiàn)不同的運(yùn)動(dòng)特性。在此取μ=30，ζ=0. 2，δ=0.04時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到系統(tǒng)的分岔圖如圖2所示，其中橫坐標(biāo)為激振頻率ω，縱坐標(biāo)為瞬時(shí)速度，激振頻率選擇在1.82～2.02之間，從分岔圖中可以看出，隨著激振頻率的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、倍化分岔，周期三分岔和混沌等特性。

圖2 分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram

圖3 系統(tǒng)在不同激勵(lì)頻率下的相圖Fig.3The phase diagram of system on different excitation frequency

2 等效電路模型及仿真

振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)值分析和計(jì)算均是用計(jì)算機(jī)在離散情況下進(jìn)行積分計(jì)算，通常使用龍哥庫塔算法，算法需要若干次的迭代運(yùn)算，因此在速度和精度上存在很大的矛盾，特別是當(dāng)改變參數(shù)(或者初值)，運(yùn)算又得重新開始，在非線性系統(tǒng)的分析和研究中，嚴(yán)重的受到計(jì)算速度的制約，并且計(jì)算為靜態(tài)計(jì)算。

為了實(shí)現(xiàn)高速仿真和實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)了一種和振動(dòng)系統(tǒng)完全等效的模擬電路，該電路的微分方程和振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程完全相同，電路由運(yùn)算放大器、電阻和電容組成，具有數(shù)值分析無法比擬的高速性、參數(shù)可實(shí)時(shí)變化的優(yōu)點(diǎn)。

2.1 等效電路設(shè)計(jì)

(3)

實(shí)現(xiàn)式(3)的電路有很多種，在此選用由TL074CN運(yùn)算放大器、電容和電阻組成的積分電路、加法電路和反相器來實(shí)現(xiàn)式(3)，設(shè)計(jì)如圖4所示。電路采用了3個(gè)模塊部分，圖4(a)中的第一個(gè)(U1A和U1C)和第二個(gè)(U1B和U1D)模塊用來實(shí)現(xiàn)式(3)中的兩個(gè)方程，圖4(b)為第三個(gè)模塊(非線性模塊)，用來實(shí)現(xiàn)f(x1)，圖4中R1～R9分別為10 kΩ、100 kΩ、100 kΩ、43.3 kΩ、30 kΩ、25 kΩ、100 kΩ、100 kΩ和100 kΩ，C1和C2均為22 nF，供電電壓為±15 V。該電路在Multisim12.0中設(shè)計(jì)并完成了仿真。

圖4 等效電路及非線性模塊Fig.4 The equivalent circuit and nonlinear module

為了確定圖4電路中電容的容值和電阻的阻值，寫出該電路的數(shù)學(xué)模型

將式(4)轉(zhuǎn)換為二階微分方程，則有

(5)

式(5)在形式上和式(1)完全相同，為了完全等效，必須確定式(5)中各個(gè)參數(shù)的數(shù)值。根據(jù)μ=30，ζ=0. 2，δ=0.04進(jìn)行計(jì)算，首先取R1=10 kΩ，R7=100 kΩ，則得到R4=43.3 kΩ、R5=30 kΩ、R6=25 kΩ。運(yùn)放U1C和U1D單元僅用于反相，因此選取R2=R3=R8=R9=100 kΩ。

正弦波激勵(lì)信號(hào)的電壓幅值和間隙δ相關(guān)，根據(jù)δ=0.04可得到

激勵(lì)頻率f和ω之間的關(guān)系為

得到f=417.673 4ω

2.2 非線性模塊設(shè)計(jì)[7]

非線性模塊在工作過程中的輸入和輸出必須符合式(2)中f(x1)的要求，即

(6)

根據(jù)式(6)的要求，可以設(shè)計(jì)2個(gè)飽和模塊進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，第一個(gè)模塊在±δ處出現(xiàn)飽和，第二個(gè)模塊的飽和參數(shù)遠(yuǎn)大于±δ。由于運(yùn)放在放大部分是線性放大，因此利用2個(gè)放大倍數(shù)完全相同且相位相反、飽和參數(shù)不同的模塊，通過加法電路后可以實(shí)現(xiàn)式(6)。

考慮到TL074CN的電源電壓為±18 V，飽和電壓約為±16 V，x11通過分壓電阻降低U4A與U4B組成的同相放大電路的放大倍數(shù)，并且與U4D組成的反相放大電路的放大倍數(shù)相同。也就是說x11和x12放大倍數(shù)相同，但相互反相。因此在U4A與U4B組成的同相放大電路飽和之前，線路輸出f(x)為0，而在其飽和后直至U1D組成的反相放大電路飽和之前，輸出f(x)為輸入x1的25倍。整體非線性模塊電路設(shè)計(jì)如圖5所示，圖中R30、R33、R34、R35和R36分別為20 kΩ、500 kΩ、4 kΩ、9 kΩ和1 kΩ，其余電阻均為100 kΩ。

圖5 非線性模塊電路Fig.5 Nonlinear module circuit

2.2.1 U4A和U4B

放大倍數(shù)為

輸出x11為

(7)

即

2.2.2 U4D

U4D組成的反相放大電路的放大倍數(shù)A2為

考慮到U4D的飽和輸入電壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于x1的實(shí)際輸入最大電壓，因此只選取其放大部分，即當(dāng)輸入x1滿足-0.64 V≤x1≤0.64 V時(shí)，輸出x12為

(8)

2.2.3 U4C

U4C的作用是將x11和x12相加并且反向，即將式(7)和式(8)相加，當(dāng)R38=R39=R40時(shí)，輸出f(x1)為

(9)

由于飽和電壓約為±16 V，所以飽和輸入電壓約為

式(9)可以簡(jiǎn)化為

該式完全滿足式(9)的要求，其中間隙δ為0.064 V。在MultiSim12.0軟件下仿真的輸入輸出特性如圖6所示(橫軸為CH1，50 mV/Div，縱軸為CH2，2 V/Div)。

圖6 非線性電路輸入輸出特性仿真Fig.6 The coordinate figure of input and output characteristics in nonlinear simulation module circuit

2.3 Multisim12.0仿真

3 硬件電子電路實(shí)驗(yàn)

圖7 MultiSim12.0軟件中仿真的相圖Fig.7 The simulation phase diagram use software of MultiSim12.0

圖8 硬件PCB電路和測(cè)試圖Fig.8 The photograph both PCB circuit and test

圖9 不同頻率下示波器輸出的相圖Fig.9 The phase diagram photograph on different frequency by oscilloscope testing

4 結(jié) 論

論文以含有對(duì)稱間隙的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型為對(duì)照模型，應(yīng)用TL074CN運(yùn)算放大器、電容和電阻，設(shè)計(jì)了完全等效的電子電路模型。電路中的非線性模塊應(yīng)用了運(yùn)算放大器的飽和特性，通過壓縮、反相和加法電路實(shí)現(xiàn)了分段線性特性。對(duì)電路模型在MultiSim12.0軟件中進(jìn)行仿真，并根據(jù)電路原理搭建了硬件PCB電路，實(shí)現(xiàn)了等效硬件電路的實(shí)驗(yàn)過程。

通過仿真和實(shí)驗(yàn)，表明使用模擬電路可以完全等效非線性動(dòng)力學(xué)模型，模擬電路不僅具有運(yùn)算速度快的特點(diǎn)，最主要的是可以方便的調(diào)整間隙、激勵(lì)頻率等參數(shù)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的仿真和實(shí)驗(yàn)。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全符合，進(jìn)一步驗(yàn)證了等效電路對(duì)于動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)的可靠性和等同性。類似的實(shí)驗(yàn)可以應(yīng)用與生物、化學(xué)和經(jīng)濟(jì)等不同學(xué)科的非線性模型中，為非線性動(dòng)力學(xué)的仿真和實(shí)驗(yàn)提供了一種高效快速、參數(shù)實(shí)時(shí)調(diào)整的仿真和實(shí)驗(yàn)方法。

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Equivalent circuits simulation and tests for a single-DOF vibration system with symmetrical gap

WANG Zheng, PAN Lihua, LIU Wenhui, BAO Fayi

(School of Mechatronic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Based on a single-DOF vibration system with symmetric gap, in order to solve problems of slow simulation speed, and difficult to design tests, an electronic circuit with a full equivalent mathematical model was designed. The circuit consisted of simple electronic components, such as, operational amplifier’s, resistances and capacitances. With the software MultiSim12.0, the simulation was done and the simulation results agreed well with those of numerical calculation. On the basis of simulation and designing nonlinear modules, the circuit board of PCB was made. Tests were conducted with devices of signal generator and oscillograph. The rationality and correctness of nonlinear vibration tests were further verified with the equivalent electronic circuit. It was shown that the circuit has excellent characteristics in high speed computing and dynamic parameter adjustment, they are incomparably beyond the characteristics of numerical simulation. The results provided a reference for simulation and tests of nonlinear systems.

vibration system; equivalent electronic circuit; simulation; test

2015-09-07 修改稿收到日期：2015-12-31

汪諍 男，碩士，副教授，1970年生

N33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.021